Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Введение

Сумма (бесконечной) геометрической прогрессии

В математике геометрическая прогрессия – это сумма бесконечного числа членов, между последовательными членами которых существует постоянное отношение. Например, прогрессия

является геометрической, поскольку каждый следующий член можно получить, умножив предыдущий член на . В общем виде геометрическая прогрессия записывается как , где – коэффициент каждого члена, а – общее отношение между соседними членами. Геометрические прогрессии сыграли важную роль в раннем развитии математического анализа, используются во всей математике и могут служить введением в часто используемые математические инструменты, такие как ряд Тейлора, ряд Фурье и матричная экспонента. Название «геометрическая прогрессия» указывает на то, что каждый член является геометрическим средним двух соседних с ним членов, подобно тому, как название «арифметическая прогрессия» указывает на то, что каждый член является арифметическим средним двух соседних с ним членов.

Скорость сближения

После того, как установлено, что ряд сходится, в некоторых приложениях также важно знать, насколько быстро он сходится. Для геометрических рядов одним из удобных показателей скорости сходимости является величина уменьшения остатка предыдущего ряда за счет последнего члена частичной суммы. Учитывая, что последний член равен *arn*, а остаток предыдущего ряда равен *s - sn-1 = arn / (1 - r)*, эта мера скорости сходимости геометрического ряда равна *arn / (arn / (1 - r)) = 1 - r*, при условии 0 ≤ *r* < 1. Если *r* < 0, соседние члены геометрического ряда чередуются по знаку. Геометрическая интерпретация сходящегося чередующегося геометрического ряда представлена на соседнем рисунке, где площади отрицательных членов показаны ниже оси *x*. Объединение и суммирование каждой положительной площади с ее соседней меньшей по модулю отрицательной площадью приводит к неперекрывающимся трапециям, разделенным промежутками. Чтобы устранить эти промежутки, расширьте каждый трапецию так, чтобы она покрывала крайние *(1 - r2)* площади исходного треугольника, а не только крайние *(1 - |r|)*. Однако, чтобы сохранить те же площади трапеций при таком расширении, необходимо масштабирование: *scale*(1 - *r2*) = (1 - |*r*|), или *scale* = (1 - |*r*|) / (1 - *r2*) = (1 + *r*) / (1 - *r2*) = (1 + *r*) / ((1 + *r*)(1 - *r*)) = 1 / (1 - *r*), где -1 < *r* ≤ 0. Обратите внимание, что поскольку *r* < 0, это масштабирование уменьшает амплитуду разделенных трапеций, чтобы заполнить промежутки. В отличие от этого, для случая *r* > 0 то же масштабирование 1 / (1 - *r*) увеличивает амплитуду неперекрывающихся трапеций, чтобы компенсировать потерю перекрывающихся площадей. После устранения промежутков пары членов сходящегося чередующегося геометрического ряда образуют сходящийся (нечередующийся) геометрический ряд с общим отношением *r2* для учета объединения членов, коэффициентом *a* = 1 / (1 - *r*) для учета заполнения промежутков и степенью (т.е. членом с наивысшей степенью) частичной суммы, обозначаемой *m* вместо *n*, чтобы подчеркнуть, что члены были объединены в пары. Аналогично случаю *r* > 0, скорость сходимости при *r* < 0 равна *ar2m / (s - sm-1) = 1 - r2*, что совпадает со скоростью сходимости нечередующегося геометрического ряда, если его члены были аналогичным образом объединены в пары. Следовательно, скорость сходимости не зависит от *n* или *m* и, возможно, более удивительно, не зависит от знака общего отношения. Одна из точек зрения, помогающая объяснить переменную скорость сходимости, симметричную относительно *r* = 0, заключается в том, что каждый добавляемый член частичной суммы вносит конечный вклад в бесконечную сумму при *r* = 1, и каждый добавляемый член частичной суммы вносит конечный вклад в бесконечный наклон при *r* = -1.

After knowing that a series converges, there are some applications in which it is also important to know how quickly the series converges. For the geometric series, one convenient measure of the convergence rate is how much the previous series remainder decreases due to the last term of the partial series. Given that the last term is arn and the previous series remainder is s sn 1 = arn / (1 r)), this measure of the convergence rate of the geometric series is arn / (arn / (1 r)) = 1 r, if 0 ≤ r < 1. If r < 0, adjacent terms in the geometric series alternate between being positive and negative. A geometric interpretation of a converging alternating geometric series is shown in the adjacent diagram in which the areas of the negative terms are shown below the x axis. Pairing and summing each positive area with its negative smaller area neighbor results in non overlapped trapezoids separated by gaps. To remove the gaps, broaden each trapezoid to cover the rightmost 1 r2 of the original triangle area instead of just the rightmost 1 |r|. However, to maintain the same trapezoid areas during this broadening transformation, scaling is needed: scale*(1 r2) = (1 |r|), or scale = (1 |r|) / (1 r2) = (1 + r) / (1 r2) = (1 + r) / ((1 + r)(1 r)) = 1 / (1 r) where 1 < r ≤ 0. Note that because r < 0 this scale decreases the amplitude of the separated trapezoids in order to fill in the separation gaps. In contrast, for the case r > 0 the same scale 1 / (1 r) increases the amplitude of the non overlapped trapezoids in order to account for the loss of the overlapped areas. With the gaps removed, pairs of terms in a converging alternating geometric series become a converging (non alternating) geometric series with common ratio r2 to account for the pairing of terms, coefficient a = 1 / (1 r) to account for the gap filling, and the degree (i. e., highest powered term) of the partial series called m instead of n to emphasize that terms have been paired. Similar to the r > 0 case, the r < 0 convergence rate = ar2m / (s sm 1) = 1 r2, which is the same as the convergence rate of a non alternating geometric series if its terms were similarly paired. Therefore, the convergence rate does not depend upon n or m and, perhaps more surprising, does not depend upon the sign of the common ratio. One perspective that helps explain the variable rate of convergence that is symmetric about r = 0 is that each added term of the partial series makes a finite contribution to the infinite sum at r = 1 and each added term of the partial series makes a finite contribution to the infinite slope at r = 1.

Зенон Элийский (около 495 - 430 до н. э.)

2500 лет назад греческих математиков затрудняла одна проблема при перемещении из одного места в другое: они полагали, что бесконечно длинный список чисел, больших нуля, в сумме даёт бесконечность. Поэтому, когда Зенон Элейский указал на то, что чтобы пройти от одного места к другому, сначала нужно пройти половину расстояния, затем половину оставшегося, затем половину вновь оставшегося, и так продолжать делить оставшееся расстояние пополам бесконечное число раз, поскольку, каким бы малым ни было оставшееся расстояние, всё равно нужно пройти его первую половину, это стало парадоксом. Таким образом, Зенон Элейский превратил короткое расстояние в бесконечно длинный список укорачивающихся отрезков, каждый из которых больше нуля. И в этом была проблема: как расстояние может быть коротким при непосредственном измерении и одновременно бесконечным, если сложить все эти бесконечное число укорачивающихся отрезков? Этот парадокс показал, что исходное предположение о том, что бесконечно длинный список чисел, больших нуля, в сумме даёт бесконечность, было неверным.

Фрактальная геометрия

Площадь внутри снежинки Коха может быть описана как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников (см. рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника равна точно 1/3 стороны большого синего треугольника, и поэтому имеет точно 1/9 площади синего треугольника. Аналогично, каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника, и так далее. Если принять площадь синего треугольника за единицу, то общая площадь снежинки будет равна: первый член этой серии представляет площадь синего треугольника, второй член – общую площадь трех зеленых треугольников, третий член – общую площадь двенадцати желтых треугольников, и так далее. Исключая начальное 1, этот ряд является геометрической прогрессией с постоянным знаменателем r = 4/9. Первый член геометрической прогрессии a = 3(1/9) = 1/3, следовательно, сумма равна.

Таким образом, площадь снежинки Коха составляет 8/5 площади исходного треугольника.

Геометрические ряды

Геометрический ряд имеет две степени свободы: одну для его коэффициента *a* и другую для его знаменателя *r*. На карте многочленов большой красный круг представляет собой множество всех геометрических рядов.

Сходящиеся геометрические ряды

Только часть всех геометрических рядов сходится. В частности, геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда его знаменатель |r| < 1. На графике многочленов красный треугольник представляет собой множество сходящихся геометрических рядов, а то, что он изображён внутри большого красного круга, представляющего множество всех геометрических рядов, показывает, что множество сходящихся геометрических рядов является подмножеством множества всех геометрических рядов.

Серия мощности

Как и геометрический ряд, степенной ряд имеет одну степень свободы для своего общего множителя r (по оси x), но имеет n+1 степень свободы для своих коэффициентов (по оси y), где n обозначает степень последнего члена в частичной сумме ряда. На карте многочленов большая синяя окружность представляет собой множество всех степенных рядов.

Комплексные ряды Фурье

В качестве примера способности комплексного ряда Фурье обрисовывать любую 2D замкнутую фигуру, в прилегающей анимации комплексный ряд Фурье обрисовывает букву 'e' (от 'экспоненциальный'). Учитывая сложную координацию движений, показанную в анимации, определение комплексного ряда Фурье может оказаться удивительно компактным – всего в двух уравнениях:

где параметризованная функция s(t) обрисовывает некоторую 2D замкнутую фигуру в комплексной плоскости по мере того, как параметр t изменяется в пределах периода от 0 до 1. Чтобы понять эти компактные уравнения, определяющие комплексный ряд Фурье, обратите внимание, что сумма комплексного ряда Фурье выглядит аналогично комплексному геометрическому ряду, за исключением того, что комплексный ряд Фурье по сути состоит из двух комплексных геометрических рядов (один набор слагаемых вращается в положительном направлении, а другой – в отрицательном), а коэффициенты комплексного ряда Фурье являются комплексными константами, которые могут меняться от слагаемого к слагаемому. Позволяя слагаемым вращаться в любом направлении, ряд становится способным обрисовывать любую 2D замкнутую фигуру. В отличие от этого, в комплексном геометрическом ряду все слагаемые вращаются в одном направлении, и он может обрисовывать только окружности. Разрешение коэффициентам комплексного геометрического ряда изменяться от слагаемого к слагаемому расширило бы набор обрисовываемых фигур, но все возможные формы все равно оставались бы размытыми и облакообразными, неспособными обрисовать, например, форму простого отрезка прямой, перемещаясь туда и обратно между 1 + i0 и 1 + i0. Однако формула Эйлера показывает, что сложение всего двух слагаемых, вращающихся в противоположных направлениях, может обрисовать этот отрезок прямой между 1 + i0 и 1 + i0:

Что касается второго уравнения комплексного ряда Фурье, определяющего, как вычислять коэффициенты, коэффициент невращающегося слагаемого c0 можно вычислить, интегрируя первое уравнение комплексного ряда Фурье в пределах одного периода от 0 до 1. В этом диапазоне все вращающиеся слагаемые интегрируются к нулю, оставляя только c0. Аналогично, любое из слагаемых в первом уравнении комплексного ряда Фурье можно сделать невращающимся, умножив обе стороны уравнения на перед интегрированием для вычисления cn, и это является вторым уравнением комплексного ряда Фурье.

История и философия

Ч. Х. Эдвардс-младший (1994). Историческое развитие математического анализа, 3-е изд., Springer. Эли Маор (1991). К бесконечности и за её пределы: Культурная история бесконечного, Издательство Принстонского университета. Морр Лазеровиц (2000). Структура метафизики (Международная философская библиотека), Routledge.

Экономика

Карл П. Саймон и Лоуренс Блум (1994). Математика для экономистов, W. W. Norton & Company. Майк Россер (2003). Основы математики для экономистов, 2-е изд., Routledge.

Биология

Эдвард Батшелет (1992). Введение в математику для естествоиспытателей, 3-е изд., Springer. Ричард Ф. Бертон (1998). Биология в цифрах: руководство к количественному мышлению, Издательство Кембриджского университета.

Информатика

Джон Раст Хаббард (2000). Руководство Шаума по теории и задачам структур данных с использованием Java, МакГроу-Хилл.