Кіріспе

Көпмүшелерді квадраттардың қосындысы ретінде өрнектеу. Хилберттің он жетінші мәселесі – Дэвид Хилберт 1900 жылы жинақтаған 23 Хилберт проблемасының бірі. Ол оң мәнді рационалды функцияларды квадраттардың бөлінділерінің қосындысы түрінде көрсетуге қатысты. Бастапқы сұрақты былай формулировать болады:

Нақты сандарда тек теріс емес мәндерді қабылдайтын көп айнымалы көпмүше, рационалды функциялардың квадраттарының қосындысы ретінде бейнелене ала ма? Хилберттің сұрағы жұп дәрежелі гомогенді көпмүшелермен шектелуі мүмкін, себебі тақ дәрежелі көпмүше таңбасын өзгертеді, ал көпмүшені гомогендеу тек теріс емес мәндерді қабылдаса ғана, ол көпмүше үшін де осыған сәйкес келеді.

Шешім және жалпылау

n = 2 ерекше жағдайы 1893 жылы Гилберт тарапынан шешілген. Жалпы мәселе 1927 жылы Эмил Артин нақты сандардағы немесе жалпырақ айтқанда, нақты жабық өрістердегі оң жартылай белгілі функциялар үшін оң нәтижемен шешілді. 1984 жылы Чарльз Делзелл алгоритмдік шешім тапты. Альбрехт Пфистердің нәтижесі n айнымалыдағы оң жартылай белгілі форманы 2n квадраттың қосындысы ретінде көрсетуге болатынын дәлелдейді. 1967 жылы Дюбуа реттелген өрістер үшін жауаптың жалпы жағдайда теріс екенін көрсетті. Мұндай жағдайда оң көпмүше оң коэффициенттері бар рационалды функциялардың салмақты квадраттарының қосындысы деп айтуға болады. 1975 жылы Маккенна, егер өріс нақты жабылуында тығыз болса, яғни нақты жабылуындағы шектес нүктелері бар кез келген аралық бастапқы өрістен элементтерді қамтитын болса, реттелген өрістегі коэффициенттері бар барлық оң жартылай белгілі көпмүшелер рационалды функциялардың салмақты квадраттарының қосындысы болып табылады. Матрицалық жағдайға қатысты жалпылау (полиномдық функциялардың жазбалары бар матрицалар, олар әрқашан оң жартылай белгілі болады, оларды рационалды функциялардың жазбалары бар симметриялық матрицалардың квадраттарының қосындысы ретінде көрсетуге болады) Гондард, Рибенбойм, Процези, Шахер және Хиллар мен Ни тарапынан элементарлық дәлелмен берілді.