Введение
Выражение многочленов в виде суммы квадратов
Hilbert's seventeenth problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert. It concerns the expression of positive definite rational functions as sums of quotients of squares. The original question may be reformulated as:
Given a multivariate polynomial that takes only non negative values over the reals, can it be represented as a sum of squares of rational functions? Hilbert's question can be restricted to homogeneous polynomials of even degree, since a polynomial of odd degree changes sign, and the homogenization of a polynomial takes only nonnegative values if and only if the same is true for the polynomial.
Семнадцатая проблема Гильберта – одна из 23 проблем Гильберта, сформулированных в знаменитом списке, составленном Дэвидом Гильбертом в 1900 году. Она касается представления положительно определенных рациональных функций в виде суммы частных от деления квадратов. Исходный вопрос можно переформулировать следующим образом:
Hilbert's seventeenth problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert. It concerns the expression of positive definite rational functions as sums of quotients of squares. The original question may be reformulated as:
Given a multivariate polynomial that takes only non negative values over the reals, can it be represented as a sum of squares of rational functions? Hilbert's question can be restricted to homogeneous polynomials of even degree, since a polynomial of odd degree changes sign, and the homogenization of a polynomial takes only nonnegative values if and only if the same is true for the polynomial.
Дан многовариантный многочлен, принимающий только неотрицательные значения на действительных числах, можно ли его представить в виде суммы квадратов рациональных функций? Вопрос Гильберта можно ограничить однородными многочленами четной степени, поскольку многочлен нечетной степени меняет знак, а гомогенизация многочлена принимает только неотрицательные значения тогда и только тогда, когда это верно и для исходного многочлена.
Hilbert's seventeenth problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert. It concerns the expression of positive definite rational functions as sums of quotients of squares. The original question may be reformulated as:
Given a multivariate polynomial that takes only non negative values over the reals, can it be represented as a sum of squares of rational functions? Hilbert's question can be restricted to homogeneous polynomials of even degree, since a polynomial of odd degree changes sign, and the homogenization of a polynomial takes only nonnegative values if and only if the same is true for the polynomial.
Решение и обобщения
Специальный случай n = 2 был уже решен Гильбертом в 1893 году. Общая задача была решена положительно в 1927 году Эмилем Артином для положительно полуопределенных функций над действительными числами или, в более общем случае, над действительно замкнутыми полями. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Делзелем в 1984 году. Результат Альбрехта Фистера показывает, что положительно полуопределенная форма от n переменных может быть выражена как сумма 2n квадратов. Дюбуа показал в 1967 году, что в общем случае ответ отрицателен для упорядоченных полей. В этом случае можно сказать, что положительный многочлен является суммой взвешенных квадратов рациональных функций с положительными коэффициентами. Маккенна показал в 1975 году, что все положительно полуопределенные многочлены с коэффициентами в упорядоченном поле представляются в виде суммы взвешенных квадратов рациональных функций с положительными коэффициентами только в том случае, если поле плотно в своем действительном замыкании в том смысле, что любой интервал с конечными точками в действительном замыкании содержит элементы исходного поля. Обобщение на случай матриц (матрицы с полиномиальными элементами, которые всегда положительно полуопределены, могут быть выражены как сумма квадратов симметричных матриц с рациональными элементами) было дано Гондардом, Рибенбоимом и Просези, Шахером, а элементарное доказательство приведено Хилларом и Ни.