Кіріспе
Өздік мәндерге шектеулер
In mathematics, the Gershgorin circle theorem may be used to bound the spectrum of a square matrix. It was first published by the Soviet mathematician Semyon Aronovich Gershgorin in 1931. Gershgorin's name has been transliterated in several different ways, including Geršgorin, Gerschgorin, Gershgorin, Hershhorn, and Hirschhorn.
Математикада, Гершгорин шеңбер теоремасы квадраттық матрицаның спектрін шектеу үшін қолданылуы мүмкін. Оны алғаш рет 1931 жылы кеңес математигі Семен Аронович Гершгорин жариялаған. Гершгориннің есімі әртүрліше транслитерацияланған, мысалы Гершгорин, Гершгорин, Гершгорин, Гершхорн және Гершхорн.
In mathematics, the Gershgorin circle theorem may be used to bound the spectrum of a square matrix. It was first published by the Soviet mathematician Semyon Aronovich Gershgorin in 1931. Gershgorin's name has been transliterated in several different ways, including Geršgorin, Gerschgorin, Gershgorin, Hershhorn, and Hirschhorn.
Талқылау
Бұл теореманы түсіндірудің бір жолы – егер комплекс сандар бойынша квадрат матрицаның диагональдық емес элементтерінің нормалары кішкентай болса, онда матрицаның өзіндік мәндері матрицаның диагональдық элементтерінен "алыс" бола алмайды. Сондықтан, диагональдық емес элементтерінің нормаларын азайту арқылы матрицаның өзіндік мәндерін жуықтауға талпынуға болады. Әрине, диагональдық элементтер диагональдық емес элементтерді азайту процесінде өзгеруі мүмкін. Теорема әрбір өзіндік мән үшін жеке диск бар деп мәлімдемейді; керісінше, дискілер , және әрқайсысы нақты осьтерге сәйкес келеді, және әрқайсысы өзіндік кеңістіктері сол оське ең жақын болатын өзіндік мәндерге шектеу қояды. Мысалы, келесі матрицаны қарастырайық:
— бұл матрицаның құрылысы бойынша , , және өзіндік мәндері бар, ал , , және сәйкес өзіндік векторлары бар. Онда екінші қатарға сәйкес диск пен үшінші қатарға сәйкес диск екінші және үшінші өзіндік мәндерді қамтиды. Бірақ бұл жай ғана сәйкес келу. Дәлелдеме қадамдарын қарастырғанда, әрбір өзіндік вектордағы ең үлкен элемент – бірінші элемент екенін көреміз (әрбір өзіндік кеңістік басқа осьтерге қарағанда бірінші оське жақынырақ). Сондықтан теорема тек бірінші қатарға сәйкес дисктің (радиосы басқа екі радиустың қосындысынан екі есе үлкен болуы мүмкін) барлық үш өзіндік мәнді қамтитынын уәделейді.
Қолдану
Гершгорин шеңбер теоремасы Ax = b түріндегі матрицалық теңдеулерді x-ті табу үшін шешуге көмектеседі, мұнда b – вектор, ал A – үлкен шарт саны бар матрица. Мұндай жағдайда, соңғы нәтижедегі қате әдетте бастапқы деректердегі қатеге A матрицасының шарт санымен көбейтілгенге тең болады. Мысалы, егер b саны алты ондық таңбаға дейін белгілі болса және A матрицасының шарт саны 1000 болса, онда x саны үш ондық таңбаға дейін ғана дұрыс екеніне сенімді бола аламыз. Өте жоғары шарт саны болғанда, тіпті дөңгелектеуден туындаған өте кішкентай қателер де нәтижені мағынасыз ететіндей деңгейге дейін ұлғайып кетуі мүмкін. Сондықтан A матрицасының шарт санын азайту пайдалы болар еді. Бұл алдын ала шарттау арқылы жүзеге асырылады: P ≈ A−1 шартын қанағаттандыратын P матрицасы құрылады, содан кейін PAx = Pb теңдеуі x-ті табу үшін шешіледі. A матрицасының керісін пайдалану тиімдірек болар еді, бірақ матрицаның керісін табу есептеу шығындарының көп болуына байланысты біз одан аулақ болуға тырысамыз. Енді, PA ≈ I, мұндағы I – бірлік матрица, сондықтан PA матрицасының өзіндік мәндерінің барлығы 1-ге жақын болуы керек. Гершгорин шеңбер теоремасы бойынша, PA матрицасының әрбір өзіндік мәні белгілі бір аймақта орналасқан, демек P матрицасын қаншалықты дұрыс таңдағанымызды шамамен бағалауға болады.