Введение

Ограничения на собственные значения
В математике теорема о круге Гершгорина может быть использована для определения границ спектра квадратной матрицы. Впервые она была опубликована советским математиком Семеном Ароновичем Гершгориным в 1931 году. Имя Гершгорина транслитерировалось различными способами, включая Гершгорин, Гершгорин, Гершгорин, Гершхорн и Хиршхорн.

Обсуждение

Один из способов интерпретации этой теоремы заключается в том, что если нормы внедиагональных элементов квадратной матрицы над комплексными числами малы, то собственные значения матрицы не могут быть "далеко" от диагональных элементов матрицы. Поэтому, уменьшая нормы внедиагональных элементов, можно попытаться приближенно вычислить собственные значения матрицы. Разумеется, диагональные элементы могут изменяться в процессе минимизации норм внедиагональных элементов. Теорема не утверждает, что для каждого собственного значения существует отдельный диск; скорее, диски соответствуют осям в пространстве, и каждый из них задает границу для тех собственных значений, собственные подпространства которых наиболее близки к конкретной оси. В матрице

— которая по построению имеет собственные значения , , и с собственными векторами , , и — легко заметить, что диск, соответствующий второй строке, покрывает , а диск, соответствующий третьей строке, покрывает . Однако это лишь случайное совпадение; при рассмотрении шагов доказательства обнаруживается, что в каждом собственном векторе наибольший по модулю элемент – первый (каждое собственное подпространство ближе к первой оси, чем к любой другой оси). Следовательно, теорема гарантирует лишь то, что диск, соответствующий первой строке (радиус которого может быть вдвое больше суммы радиусов двух других дисков), покрывает все три собственных значения.

Применение

Теорема круга Гершгорина полезна при решении матричных уравнений вида Ax = b для x, где b — вектор, а A — матрица с большим числом обусловленности. В таких задачах ошибка в конечном результате обычно одного порядка с ошибкой в исходных данных, умноженной на число обусловленности матрицы A. Например, если b известно с точностью до шести десятичных знаков, а число обусловленности A равно 1000, то мы можем быть уверены в точности x лишь до трех десятичных знаков. При очень больших числах обусловленности даже незначительные ошибки округления могут настолько усилиться, что результат станет бессмысленным. Желательно уменьшить число обусловленности A. Это можно сделать с помощью предварительного обусловливания: строится матрица P, такая что P ≈ A⁻¹, и затем решается уравнение PAx = Pb для x. Использовать точный обратный элемент A было бы хорошо, но вычисление обратной матрицы – операция, которую желательно избегать из-за больших вычислительных затрат. Поскольку PA ≈ I, где I – единичная матрица, собственные значения PA должны быть близки к 1. По теореме круга Гершгорина каждое собственное значение PA лежит в известной области, что позволяет оценить качество выбора матрицы P.