Кіріспе
Математикада Куммер–Вандивер болжамы немесе Вандивер болжамы, p-ші циклотомиялық өрістің максималды нақты субөрісінің кластық саны hK-ны p саны бөлмейді деп тұжырымдайды. Бұл болжамды алғаш рет Эрнст Куммер 1849 жылғы 28 желтоқсанда және 1853 жылғы 24 сәуірде Леопольд Кронекерге жазған хаттарында айтқан, және шамамен 1920 жылы Филипп Фуртвенглер мен басқа да ғалымдар тәуелсіз түрде қайтадан ашқан.
2011 жылға дейін болжамды қолдайтын немесе оған қарсы тұратын нақты дәлелдер жоқ, және оның дұрыс немесе бұрыс екендігі белгісіз, бірақ оған қарсы мысалдар өте сирек болуы мүмкін.
Өмірбаян
Циклотомиялық өрістің h кластық саны h1 және h2 екі бүтін санның көбейтіндісі болып табылады, олар кластық санның бірінші және екінші факторлары деп аталады, мұндағы h2 – p-шы циклотомиялық өрістің ең үлкен нақты қосалқы өрісінің кластық саны. Бірінші h1 факторы жақсы зерттелген және оны Бернулли сандары арқылы оңай есептеуге болады, әдетте ол өте үлкен. Екінші h2 факторы жеткілікті зерттелмеген және оны нақты есептеу қиын, ал есептелген жағдайларда көбінесе кішкентай болады. Куммер көрсеткендей, егер p саны кластық сан h-ты бөлмесе, онда Ферманың соңғы теоремасы p дәрежесі үшін орындалады. Куммер–Вандивер болжамы p саны екінші h2 көбейткішін бөлмейді дейді. Куммер егер p саны екінші көбейткішті бөлсе, онда ол бірінші көбейткішті де бөледі деп көрсетті. Атап айтқанда, Куммер–Вандивер болжамы реттелген жай сандар үшін (p бірінші көбейткішті бөлмейтін сандар) қолданылады.
The Kummer–Vandiver conjecture states that p does not divide the second factor h2. Kummer showed that if p divides the second factor, then it also divides the first factor. In particular the Kummer–Vandiver conjecture holds for regular primes (those for which p does not divide the first factor).
Кумер-Вандивер жорамалдың жақтауы мен қарсылығы
Кумер Кумер–Вандивер болжамын p 200-ден төмен мәндер үшін растады, ал Вандивер оны p 600-ден төмен мәндерге дейін кеңейтті. Бұл 12 миллионнан аз p үшін расталды, содан кейін 163 миллионнан аз алғашқы сандарға дейін, және 231-ден аз алғашқы сандарға дейін кеңейтілді. п-ге қатысты сынып сандарының тең үлестірілуі туралы күмәнді болжамдарға негізделген, ресми емес ықтималдық аргументін сипаттайды. Бұл Кумер–Вандивер болжамына ерекшелік болатын x-тен аз алғашқы сандар саны (1/2)log log x сияқты өсуі мүмкін екенін көрсетеді. Бұл өте баяу өседі және компьютерлік есептеулер Вандивердің болжамына көп дәлел бермейді: мысалы, ықтималдық аргументі (кіші жай сандар үшін есептеулермен біріктірілген) алғашқы 10100 жай сан ішінде шамамен 1 қарсы мысал күтілетінін көрсетеді, бұл одан әрі іздеулерде қарсы мысал табылмауы мүмкін екенін ұсынады, тіпті егер шексіз көп ерекшелік болса да. 10000-ға дейінгі алғашқы сандар үшін нақты циклотомдық өрістердің сынып сандарының болжамды есептеулерін берді, бұл сынып сандарының p модулі бойынша кездейсоқ таратылмағанын анық көрсетеді. Олар көбінесе өте кішкентай және жиі 1-ге тең болады. Мысалы, жалпыланған Риман гипотезасын қабылдағанда, p<163 үшін p негізді нақты циклотомдық өрістің сынып саны 1-ге тең, ал p=163 үшін 4-ке бөлінеді. Бұл Вашингтонның болжамға қарсы ықтималдық аргументінің шатастырушы болуы мүмкін екенін көрсетеді. Вашингтонның эвристикалық аргументінің жетілдірілген нұсқасын ұсынды, бұл Кумер–Вандивер болжамының, басымдықпен, шын екенін көрсетеді.
verified it for p < 12 million. extended this to primes less than 163 million, and extended this to primes less than 231.
describes an informal probability argument, based on rather dubious assumptions about the equidistribution of class numbers mod p, suggesting that the number of primes less than x that are exceptions to the Kummer–Vandiver conjecture might grow like (1/2)log log x. This grows extremely slowly, and suggests that the computer calculations do not provide much evidence for Vandiver's conjecture: for example, the probability argument (combined with the calculations for small primes) suggests that one should only expect about 1 counterexample in the first 10100 primes, suggesting that it is unlikely any counterexample will be found by further brute force searches even if there are an infinite number of exceptions. gave conjectural calculations of the class numbers of real cyclotomic fields for primes up to 10000, which strongly suggest that the class numbers are not randomly distributed mod p. They tend to be quite small and are often just 1. For example, assuming the generalized Riemann hypothesis, the class number of the real cyclotomic field for the prime p is 1 for p<163, and divisible by 4 for p=163. This suggests that Washington's informal probability argument against the conjecture may be misleading. gave a refined version of Washington's heuristic argument, suggesting that the Kummer–Vandiver conjecture is probably true.
Кумер-Вандивер жорамалдың салдары
Бұл көрсеткендей, болжам бүтін сандардың алгебралық K-теориясындағы бір мәлімдемемен эквивалентті, атап айтқанда, n саны 4-ке еселік болғанда Kn(Z) = 0. Шындығында, Куммер-Вандивер болжамы және нормалық қалдық изоморфизм теоремасы n-нің барлық мәндері үшін K-топтарының толық болжамдық есептеулеріне алып келеді; толық мәліметтер үшін Quillen-Lichtenbaum болжамын қараңыз.