Введение

В математике, гипотеза Куммера — Вандивера, или гипотеза Вандивера, утверждает, что простое число p не делит число класса hK максимального вещественного подполя p-го кругового поля. Гипотеза была впервые сформулирована Эрнстом Куммером 28 декабря 1849 года и 24 апреля 1853 года в письмах Леопольду Кронекеру, перепечатанных в, и независимо повторно открыта около 1920 года Филиппом Фуртвенглером и Ф. Фуртвенглером.

По состоянию на 2011 год нет каких-либо особенно веских доказательств ни в пользу, ни против гипотезы, и неясно, верна она или нет, хотя, вероятно, контрпримеры крайне редки.

Предыстория

Классовый номер h циклотомического поля является произведением двух целых чисел h1 и h2, называемых первым и вторым факторами классового номера, где h2 — это классовый номер максимального вещественного подполя p-го циклотомического поля. Первый фактор h1 хорошо изучен и может быть легко вычислен через числа Бернулли, и обычно довольно велик. Второй фактор h2 изучен недостаточно хорошо и его трудно вычислить явно, причём в тех случаях, когда он был вычислен, он обычно мал. Куммер показал, что если простое число p не делит классовый номер h, то последняя теорема Ферма выполняется для показателя p. Гипотеза Куммера — Вандивера утверждает, что p не делит второй фактор h2. Куммер показал, что если p делит второй фактор, то он также делит первый фактор. В частности, гипотеза Куммера — Вандивера верна для регулярных простых чисел (тех, для которых p не делит первый фактор).

Доказательства в пользу и против гипотезы Куммер-Вандивер

Куммер проверил гипотезу Куммера — Вандивера для p меньше 200, а Вандивер расширил её до p меньше 600. Проверил её для p < 12 миллионов. Расширил это на простые числа меньше 163 миллионов, и расширил это на простые числа меньше 231. Описывает неформальный вероятностный аргумент, основанный на весьма сомнительных предположениях о равнораспределённости чисел класса по модулю p, предполагающий, что количество простых чисел меньше x, являющихся исключениями из гипотезы Куммера — Вандивера, может расти как (1/2)log log x. Это растёт крайне медленно и предполагает, что компьютерные вычисления не предоставляют существенных доказательств гипотезы Вандивера: например, вероятностный аргумент (в сочетании с вычислениями для малых простых чисел) предполагает, что следует ожидать лишь около 1 контрпримера среди первых 10100 простых чисел, что указывает на малую вероятность обнаружения какого-либо контрпримера при дальнейших поисках полным перебором, даже если существует бесконечное число исключений. Приводит гипотетические вычисления чисел классов вещественных циклотомических полей для простых чисел до 10000, что убедительно свидетельствует о том, что числа классов не распределены случайно по модулю p. Они, как правило, довольно малы и часто равны 1. Например, при условии обобщённой гипотезы Римана, число класса вещественного циклотомического поля для простого числа p равно 1 при p < 163 и делится на 4 при p = 163. Это позволяет предположить, что неофициальный вероятностный аргумент Вашингтона против гипотезы может быть вводящим в заблуждение. Представил уточнённую версию эвристического аргумента Вашингтона, предполагающую, что гипотеза Куммера — Вандивера, вероятно, верна.

Последствия гипотезы Куммер-Вандивер

показал, что гипотеза эквивалентна утверждению в алгебраической K-теории целых чисел, а именно, что Kn(Z) = 0 при всех n, кратных 4. Более того, из гипотезы Куммера — Вандивера и теоремы об изоморфизме нормированных вычетов следует полное гипотетическое вычисление K-групп для всех значений n; подробности см. в гипотезе Куиллена — Лихтенбаума.