Кіріспе

Математикалық қатынастың түрі. Крамерс-Крониг қатынастары – жоғарғы жарты жазықтықта аналитикалық болатын кез келген комплекс функцияның нақты және жорамал бөліктерін байланыстыратын екі бағытты математикалық қатынастар. Бұл қатынастар физикалық жүйелердегі жауап функцияларының жорамал бөлігінен (немесе керісінше) нақты бөлігін есептеу үшін жиі қолданылады, себебі тұрақты жүйелер үшін себеп-салдарлық байланыс аналитикалық болу шартын білдіреді, ал керісінше, аналитикалық болу сәйкес тұрақты физикалық жүйенің себеп-салдарлық байланысын білдіреді. Бұл қатынастар Ральф Крониг және Ханс Крамерс құрметіне аталған. Математикада бұл қатынастар Сохоцкий-Племель теоремасы және Гильберт түрлендіруі деп белгілі.

Алыстыру

Дәлелдеу күрделі интеграция үшін Каушидің қалдық теоремасын қолданудан басталады. Жабық жоғарғы жарты жазықтықтағы кез келген аналитикалық функция берілген болса, функциясы, мұндағы – нақты сан, (ашық) жоғарғы жарты жазықтықта аналитикалық болады. Сондықтан қалдық теоремасы осы аймақтағы кез келген жабық контур үшін былай тұжырымдайды:

Контурды нақты осьтің бойымен, полюстің үстінен өтетін дөңгелек және жоғарғы жарты жазықтықтағы үлкен жарты шеңберге икемдеу арқылы таңдағанда. Бұл интегралды осы үш контур сегментінің әрқайсысының үлесіне бөліп, оларды шектерге көшіру арқылы жүзеге асырылады. Жарты шеңбер сегментінің ұзындығы пропорционалды түрде өседі, бірақ оның үстіндегі интеграл шекте нөлге жуықтайды, себебі тез нөлге жуықтайды. Бізге нақты ось бойындағы және полюс маңындағы жарты шеңбер сегменттері қалады. Біз жарты шеңбердің радиусын нөлге дейін азайтамыз және мынаны аламыз:

Соңғы өрнектегі екінші мүше қалдықтар теориясын, атап айтқанда, Сохоцкий-Племель теоремасын қолдану арқылы алынады. Теңдеуді қайта реттеу арқылы Крамерс-Крониг қатынастарының ықшам түріне келеміз:

Бөлгіштегі жалғыз байланыс нақты және жорамал бөліктер арасындағы байланысты қамтамасыз етеді. Ақырында, жоғарыда келтірілген түйіндемелерді алу үшін теңдеуді нақты және жорамал бөліктеріне бөліңіз.

Уақыт аумағынан алынған дәлелдеме

Ху, Холл және Хек контурлық интеграцияны қолданбайтын, байланысты және ықтимал интуитивті дәлел келтіреді. Ол мына фактілерге негізделген: себептік импульсті жауап жұп және тақ функциялардың қосындысы ретінде өрнектелуі мүмкін, мұнда тақ функция – таңба функциясымен көбейтілген жұп функция. Уақыт доменіндегі толқынның жұп және тақ бөліктері оның Фурье интегралының нақты және жорамал бөліктеріне сәйкес келеді. Уақыт доменінде таңба функциясымен көбейту жиілік доменіндегі Гилберт түрлендіруіне (яғни Гилберт ядросымен конволюцияға) сәйкес келеді. Осы фактілерден алынған формулаларды біріктіру нәтижесінде Крамерс-Крониг қатынастары шығады. Бұл дәлел алдыңғы дәлелден сәл өзгеше, себебі ол уақыт доменінде себептік кез келген функцияның жиілік доменіндегі нақты және жорамал бөліктерін байланыстырады, бұл жиілік доменінің жоғарғы жарты жазықтығындағы аналитикалық шарттан сәл өзгеше көзқарас ұсынады. Осы дәлелдеменің бейресми, суреттік түсіндірмесі бар мақала да қолжетімді.

Үлкендігі (көбеюі) фазалық қатынасы

Жоғарыда келтірілген Крамерс-Кронинг формуласының дәстүрлі түрі күрделі жауап функциясының нақты және жорамал бөлігін байланыстырады. Сонымен қатар, күрделі жауап функциясының шамасы мен фазасы арасындағы байланысты табу да мақсат. Алайда, жалпы жағдайда фазаны шамадан бірегей түрде болжау мүмкін емес. Бұл кейде Боде күшейткіш-фазалық қатынасы деп аталады. Марсель Байярдтың (1936) және Хендрик Уэйд Бодтың (1945) еңбектеріне сүйене отырып, Байярд-Боде қатынастары және Байярд-Боде теоремасы терминдері Крамерс-Кронинг қатынастарын немесе амплитуда-фазалық қатынастарды белгілеу үшін қолданылады, әсіресе телекоммуникация және басқару теориясы салаларында.

Күрделі сыну көрсеткіші

Крамерс-Крониг қатынастары ортаның күрделі сындыру көрсеткішінің нақты және жорамал бөліктерін байланыстыру үшін қолданылады, мұнда – сіңіру коэффициенті. Осылайша, бұл күрделі қатысты қабылдағыштық пен электрлік сезімталдыққа да қатысты қолданылады.

Оптикалық белсенділік

Крамерс-Крониг қатынастары оптикалық ротациялық дисперсия мен айналмалы дихроизм арасындағы байланысты белгілейді.

Магниттік-оптика

Крамерс-Крониг қатынастары тривиальды емес шашырау проблемаларын дәл шешуге мүмкіндік береді, олар магнит оптикасында қолданылады.

Электрондық спектроскопия

Электрондық энергия жоғалту спектроскопиясында Крамерс-Крониг талдауы үлгідегі жарық оптикалық өткізгіштіктің нақты және жорамал бөліктерінің энергияға тәуелділігін, сондай-ақ сіңіру коэффициенті мен шағылыстыру қабілеті сияқты басқа да оптикалық қасиеттерді есептеуге мүмкіндік береді. Қысқаша айтқанда, өте жұқа үлгі арқылы өтетін (бір рет шашырау жуықтамасы) жоғары энергиялы (мысалы, 200 кВ) электрондардың белгілі бір мөлшерде энергия жоғалтуын өлшеу арқылы, сол энергиядағы өткізгіштіктің жорамал бөлігін есептеуге болады. Бұл деректерді Крамерс-Крониг талдауымен қолданып, өткізгіштіктің нақты бөлігін (энергияның функциясы ретінде) есептеуге болады. Бұл өлшеулер жарық емес, электрондармен жүргізіледі және өте жоғары кеңістіктік ажыратымдылықпен орындалуы мүмкін. Мысалы, 100 нм-ден кіші, яғни ультракүлгін спектроскопия үшін тым кішкентай ғарыштық шаңның зертханалық үлгісінде ультракүлгін (УК) сіңіру жолақтарын іздеуге болады. Электрондық спектроскопияның энергиялық ажыратымдылығы жарық спектроскопиясынан төмен болғанымен, көрінетін, ультракүлгін және жұмсақ рентген сәулелерінің спектрлік диапазондарындағы қасиеттер туралы деректер бір тәжірибеде тіркелуі мүмкін. Бұрыштық ажыратымды фотоэмиссиялық спектроскопияда электрондардың өзіндік энергиясының нақты және жорамал бөліктерін байланыстыру үшін Крамерс-Крониг қатынастарын қолдануға болады. Бұл материалдағы электронның көп денелі өзара әрекеттесуінің сипаттамасы болып табылады. Нақты мысалдар жоғары температуралы суперөткізгіштерде кездеседі, онда өткізгіштіктің нақты бөлігіне сәйкес келетін өшірулер байқалады, ал өткізгіштіктің жорамал бөлігіне сәйкес келетін МДК енінің өзгерулері де байқалады.

Адрондық шашырау

Крамерс-Кронинг қатынастары адрондық шашырауға сілтеме жасағанда "интегралды дисперсиялық қатынастар" деген атаумен де қолданылады. Бұл жағдайда функция шашырау амплитудасы болып табылады. Оптика теоремасын пайдалану арқылы шашырау амплитудасының жолғарымдық бөлігі физикалық өлшеуге болатын жалпы қимамен байланыстырылады.

Электронды шашырау

Адрондық шашырау сияқты, жоғары энергиялы электрон шашырауында да Крамерс-Крониг қатынастары қолданылады. Атап айтқанда, олар Герасимов-Дрелл-Хирн қосынды ережесін тудыруға қатысады.

Геофизика

Сейсмикалық толқындардың таралуы үшін Крамер-Крониг қатынасы, өтетін ортадағы сапа коэффициентінің дұрыс түрін анықтауға көмектеседі.

Электрохимиялық импеданстық спектроскопиясы

Крамерс-Кронинг сынағы батарея және отын элементтерінің қолданылуында (диэлектрлік спектроскопия) сызықтылықты, себеп-салдарлық байланысты және стационарлықты тексеру үшін қолданылады. Іс жүзінде, Крамерс-Кронинг формуласы қажет ететіндей, толық жиілік диапазонындағы деректерді алу мүмкін болмағандықтан, жуықтаулар жасау қажет. Жоғары жиіліктерде (> 1 МГц) электролиттің омикалық кедергісі импедансқа басым екенін қауіпсіз деуге болады, бірақ индуктивті артефакттар жиі кездеседі. Төмен жиіліктерде KK сынағы эксперименттік деректердің сенімділігін тексеру үшін пайдаланылуы мүмкін. Батарея тәжірибесінде бір минуттан кем уақытқа созылған эксперименттерден алынған деректер көбінесе 10 Гц-тен төмен жиіліктерде сынақтан өтпейді. Сондықтан, мұндай деректерді интерпретациялау кезінде сақтық таныту керек. Электрохимия тәжірибесінде, эксперименттік деректердің шекті жиілік диапазонына байланысты, Крамерс-Кронинг қатынастарының орнына Z HIT қатынасы қолданылады. Крамерс-Кронингтен (шеңберсіз жиілік диапазоны үшін жазылған) өзгеше, Z HIT интеграциясына тек шекті жиілік диапазоны ғана қажет. Сонымен қатар, Z HIT импеданстың Re және Im мәндеріндегі қателерге төзімдірек, өйткені оның дәлдігі негізінен фазалық деректердің дәлдігіне байланысты.