Введение

Тип математического соотношения. Соотношения Крамерса — Кронига — это двунаправленные математические соотношения, связывающие действительную и мнимую части любой комплексной функции, аналитической в верхней полуплоскости. Эти соотношения часто используются для вычисления действительной части по мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах, поскольку для стабильных систем причинность подразумевает условие аналитичности, и наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей стабильной физической системы. Соотношения названы в честь Ральфа Кронига и Ганса Крамерса. В математике эти соотношения известны как теорема Сохоцкого — Племеля и преобразование Гильберта.

Вывод

Доказательство начинается с применения теоремы о вычетах Коши для комплексного интегрирования. Для любой аналитической функции в замкнутой верхней полуплоскости функция , где – вещественное число, аналитична в (открытой) верхней полуплоскости. Следовательно, теорема о вычетах утверждает, что

для любого замкнутого контура в этой области. Если выбрать контур, огибающий вещественную ось, выпуклость над полюсом в , и большой полукруг в верхней полуплоскости, то интеграл можно разложить на вклады от каждого из этих трех сегментов контура и перейти к пределу. Длина полукругового сегмента возрастает пропорционально , но интеграл по нему стремится к нулю при , поскольку убывает быстрее, чем . Остаются сегменты вдоль вещественной оси и полукруг вокруг полюса. Уменьшая радиус полукруга до нуля, получаем

Второй член в последнем выражении получается с использованием теории вычетов, в частности, теоремы Сохоцкого — Племеля. Перегруппировав, приходим к компактной форме соотношений Крамерса — Кронига:

Единственный в знаменателе устанавливает связь между действительной и мнимой частями. Наконец, разделим и уравнение на действительную и мнимую части, чтобы получить приведенные выше формулы.

Соответствующее доказательство из области времени

Ху, Холл и Хек приводят связанное и, возможно, более интуитивное доказательство, избегающее контурного интегрирования. Оно основано на следующих фактах:

Причинный импульсный отклик может быть представлен в виде суммы четной и нечетной функций, при этом нечетная функция является четной функцией, умноженной на знаковую функцию. Четная и нечетная части сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям его интеграла Фурье, соответственно. Умножение на знаковую функцию во временной области соответствует преобразованию Гильберта (то есть свертке с ядром Гильберта) в частотной области. Комбинируя формулы, вытекающие из этих фактов, можно получить соотношения Крамерса — Кронига. Это доказательство несколько отличается от предыдущего тем, что оно устанавливает связь между действительной и мнимой частями в частотной области любой функции, являющейся причинной во временной области, предлагая подход, отличный от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотной области. Также доступна статья с неформальным, графическим изложением этого доказательства.

Сравнение величины (прибыли) фазы

Обычная форма соотношений Крамерса — Кронига, представленная выше, связывает действительную и мнимую части комплексной функции отклика. Смежной задачей является установление связи между амплитудой и фазой комплексной функции отклика. В общем случае, к сожалению, фазу нельзя однозначно определить по амплитуде. Это соотношение иногда называют зависимостью между усилением и фазой Боде. Термины «соотношения Байарда — Боде» и «теорема Байарда — Боде», названные в честь работ Марселя Байарда (1936) и Хендрика Уэйда Боде (1945), также используются для обозначения как соотношений Крамерса — Кронига в целом, так и амплитудно-фазовой зависимости в частности, особенно в областях телекоммуникаций и теории управления.

Комплексный показатель преломления

Связи Крамерса — Кронига используются для установления взаимосвязи между действительной и мнимой частями комплексного показателя преломления среды, где — коэффициент поглощения. Следовательно, это применимо и к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости.

Оптическая активность

Отношения Крамерса — Кронига устанавливают связь между оптической вращательной дисперсией и круговым дихроизмом.

Магнитно-оптические

Отношения Крамерса-Кронига позволяют получать точные решения нетривиальных задач рассеяния, которые находят применение в магнитооптике.

Электроспектроскопия

В электронной спектроскопии потери энергии анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как реальной, так и мнимой частей диэлектрической проницаемости света образца, а также других оптических свойств, таких как коэффициент поглощения и отражательная способность. Вкратце, измеряя количество электронов высокой энергии (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении через очень тонкий образец (в приближении однократного рассеяния), можно рассчитать мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные совместно с анализом Крамерса-Кронига, можно также рассчитать реальную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии). Это измерение выполняется с использованием электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать ультрафиолетовые (УФ) полосы поглощения в лабораторном образце межзвездной пыли размером менее 100 нм, то есть слишком малом для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет худшее энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия, данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах могут быть получены в одном эксперименте. В спектроскопии углового разрешения фотоэмиссии соотношения Крамерса-Кронига могут быть использованы для установления связи между реальной и мнимой частями собственной энергии электронов. Это характерно для многочастичных взаимодействий, которые испытывает электрон в материале. Яркими примерами служат высокотемпературные сверхпроводники, где в дисперсионном спектре наблюдаются изгибы, соответствующие реальной части собственной энергии, а изменения ширины спектральной функции также наблюдаются, соответствующие мнимой части собственной энергии.

Адронное рассеяние

Отношения Крамерса — Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» применительно к адронному рассеянию. В этом случае функцией является амплитуда рассеяния. Благодаря использованию оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния связана с полным сечением, которое является физически измеряемой величиной.

Рассеивание электронов

Аналогично адронному рассеянию, соотношения Крамерса — Кронига применяются в рассеянии электронов высоких энергий. В частности, они участвуют в выводе правила суммы Герасимова — Дрелла — Херна.

Геофизика

Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера — Кронига помогает определить правильную форму добротности в затухающей среде.

Электрохимическая импидансная спектроскопия

Тест Крэмерса-Кронига используется в приложениях, связанных с аккумуляторами и топливными элементами (диэлектрическая спектроскопия), для проверки линейности, причинности и стационарности. Поскольку на практике невозможно получить данные во всем частотном диапазоне, как того требует формула Крэмерса-Кронига, необходимо прибегать к приближениям. При высоких частотах (> 1 МГц) обычно можно с уверенностью предположить, что импеданс определяется главным образом омическим сопротивлением электролита, хотя часто наблюдаются артефакты индуктивности. При низких частотах тест КК можно использовать для проверки надежности экспериментальных данных. В практике работы с аккумуляторами данные, полученные в экспериментах продолжительностью менее одной минуты, как правило, не проходят проверку на частотах ниже 10 Гц. Поэтому при интерпретации таких данных следует проявлять осторожность. В электрохимической практике, из-за конечного частотного диапазона экспериментальных данных, вместо соотношений Крэмерса-Кронига используется соотношение Z HIT. В отличие от Крэмерса-Кронига (который сформулирован для бесконечного частотного диапазона), интеграция Z HIT требует лишь конечного частотного диапазона. Кроме того, Z HIT более устойчив к ошибкам в действительной и мнимой частях импеданса, поскольку его точность в большей степени зависит от точности фазовых данных.