Кіріспе

Тұрақты беттері бар теңбұрышты көпбұрыш

Геометрияда біркелкі көпбұрыштың беттері тұрақты көпбұрыштардан тұрады және оның төбелері транзитивті (яғни, кез келген төбеленді кез келген басқа төбелеге айналдыратын изометрия бар). Осыдан барлық төбелер конгруэнтті болады. Біркелкі көпбұрыштар тұрақты (егер беттері мен қабырғалары да транзитивті болса), жартылай тұрақты (егер қабырғалары транзитивті болса, бірақ беттері транзитивті болмаса) немесе жартылай реттелген (егер қабырғалары да, беттері де транзитивті болмаса) болуы мүмкін. Беттері мен төбелері дөңес болуы міндетті емес, сондықтан біркелкі көпбұрыштардың көпшілігі жұлдызды көпбұрыштар болып табылады. Біркелкі көпбұрыштардың екі шексіз класы бар, олармен бірге 75 басқа көпбұрыш бар:
Шексіз кластар:
призмалар,
антипризмалар. Дөңес ерекшеліктері:
5 Платондық дене: тұрақты дөңес көпбұрыштар,
13 Архимед денеі: 2 жартылай тұрақты және 11 жартылай реттелген дөңес көпбұрыштар. Жұлдызды (дөңес емес) ерекшеліктері:
4 Кеплер-Пойнсо денелері: тұрақты дөңес емес көпбұрыштар,
53 біркелкі жұлдызды көпбұрыштар: 14 жартылай тұрақты және 39 жартылай реттелген. Осылайша, 5 + 13 + 4 + 53 = 75. Сондай-ақ, Джон Скиллинг тапқан үлкен дирхомбидодекаэдр (Скиллинг фигурасы) сияқты, қабырғалары бір-бірімен сәйкес келетін жұптары бар біркелкі көпбұрыштар да бар. Біркелкі көпбұрыштардың дуалдық көпбұрыштары беттік транзитивті (изоэдрлі) және тұрақты төбелік фигуралары бар, және әдетте олардың дуалдық (біркелкі) көпбұрыштарымен салыстырылып жіктеледі. Тұрақты көпбұрыштың дуалы тұрақты, ал Архимед денеінің дуалы – Каталан денеі. Біркелкі көпбұрыш тұжырымы – біртұтас политоп тұжырымының ерекше жағдайы, ол жоғары өлшемді (немесе төмен өлшемді) кеңістіктегі пішіндерге де қолданылады.

Тұрақты құрғақ көпбұрыштар

Платондық қатты денелер классикалық гректер дәуіріне дейін жетеді және оларды Пифагор, Платон (б.з.д. 424 – 348 жж.), Театет (б.з.д. 417 – 369 жж.), Локрилік Тимей (б.з.д. 420–380 жж.) және Эвклид (б.з.д. 300 ж. шамамен) зерттеген. Этрускілер б.з.д. 500 жылға дейін дұрыс додекаэдрді ашқан.

Қалыпты емес біркелкі құрғақ көпбұрыштар

Кубоктаэдрді Платон да білген. Архимед (б.з.д. 287 – б.з.д. 212) Архимедтің 13 қатты денесінің барлығын ашқан. Осы тақырыптағы түпнұсқа кітабы жоғалып кетті, бірақ Александриялық Папп (шамамен 290 – 350 ж.ж.) Архимедтің 13 көпжақты тізімдегенін айтқан. Пьеро делла Франческа (1415 – 1492) Платондық қатты денелердің бес қиылысын қайта ашқан: қиылысқан тетраэдр, қиылысқан октаэдр, қиылысқан куб, қиылысқан додекаэдр және қиылысқан икосаэдр. Ол өзінің "De quinque corporibus regularibus" кітабында олардың метрикалық қасиеттерінің суреттемелерін және есептеулерін қосты. Ол тағы бір кітабында кубоктаэдр туралы да айтқан. Лука Пачоли 1509 жылы Франческаның "De divina proportione" еңбегін көшіріп алған, оған ромбикубоктаэдрді қосып, оны 26 жағынан икозигексаэдр деп атаған, оның суретін Леонардо да Винчи салған. Иоганн Кеплер (1571–1630) 1619 жылы Архимедтің қатты денелерінің толық тізімін алғаш рет жариялаған. Ол сонымен қатар бірыңғай призмалар мен антипризмалардың шексіз отбасыларын анықтаған.

Тұрақты жұлдызды көпбұрыштар

Кеплер (1619) Кеплер-Пуаноның екі тұрақты көпжақтысын – кішкентай жұлдызды он екібұрыш пен үлкен жұлдызды он екібұрышты ашты. Луи Пуано (1809) қалған екеуін – үлкен додекаэдр мен үлкен икосаэдрді ашты. Төрттік жиынтық 1813 жылы Огюстен Луи Коши тарапынан толық деп доказдалды және 1859 жылы Артур Кейли ат қойды.

Басқа 53 тұрақты емес жұлдызды көпбұрыштар

Қалған 53-тің 2-сін Эдмунд Гесс (1878) ашқан, Алберт Бадуро (1881) тағы 36-сын ашқан, ал Питч (1881) өз бетінше 18-ін ашқан, оның 3-і бұрын ашылмаған. Бұл олардың барлығын 41 көпбұрышқа жеткізді. Геометр Х. С. М. Коксетер қалған он екісін Дж. К. П. Миллермен бірлесіп (1930–1932) ашқан, бірақ жарияламаған. М. С. Лонгуэ Хиггинс пен Х. С. Лонгуэ Хиггинс олардың он бірін тәуелсіз түрде ашқан. 1947 жылы Лесавр мен Мерсье олардың бесеуін қайтадан тапқан. Біркелкі полиэдрлердің тізімін жариялаған және олардың тізімі толық деген болжамын дәлелдеген. 1974 жылы Магнус Веннингер «Полиэдр модельдері» атты кітабын жариялады, онда Норман Джонсонның бұрын жарияланбаған көптеген атауларымен 75-ке жуық барлық біркелкі полиэдрлер тізімделген. Олар толықтығын тәуелсіз түрде дәлелдеді және егер біркелкі полиэдрдің анықтамасы жиектердің сәйкес келуіне рұқсат беру үшін жеңілдетілсе, онда бір ғана қосымша мүмкіндік бар екенін көрсетті (үлкен дирхомбидодекаэдр). 1987 жылы Эдмонд Бонан Turbo Pascal бағдарламасымен, Polyca деп аталатын 3D түрінде біркелкі полиэдрлер мен олардың дуалдарын суреттеді. Олардың көпшілігі 1993 жылы Англияның Истборн қаласындағы Конгресс театрында өткен Халықаралық стереоскопиялық одақ конгресінде көрсетілді, сондай-ақ 2005 жылы Францияның Бесансон қаласындағы Курсалда да көрсетілді. 1993 жылы Zvi Har'El (1949–2008) Kaleido деп аталатын компьютерлік бағдарламамен біркелкі полиэдрлер мен олардың дуалдарын толық калейдоскопиялық тұрғыдан құрастырды және оны «Біркелкі полиэдрлерге біркелкі шешім» деген мақалада жинақтады, 1-80 суреттерді қамтыды. Сондай-ақ 1993 жылы Р. Мадер бұл Kaleido шешімін біршама өзгеше индекстеу жүйесімен Mathematica-ға көшірді. 2002 жылы Питер В. Мессер кез келген біркелкі полиэдрдің (және оның дуалының) негізгі комбинаторлық және метрикалық шамаларын анықтау үшін, тек оның Витхофф символы берілгенде, жабық формадағы өрнектердің минималды жиынтығын тапты.

Біркелкі жұлдызды көпбұрыштар

57 призма емес, дөңес емес пішін, үлкен дирхомбикозидодекаэдрден басқа, Шварц үшбұрыштарындағы Витхофф құрастырулары арқылы жасалған.

(p 2 2) Призмалық [p,2], I2(p) отбасы (Dph диэдрлі симметрия)

Сфераның диэдрлік симметриясы біркелкі полиэдрлердің екі шексіз жиынтығын – призмалар мен антипризмаларды, сондай-ақ сферада мозаика ретінде болатын екі тағы шексіз жиынтығын – хосоэдрлер мен диэдрлерді жасайды. Диэдрлік симметрия әрбір төбедегі айналарды есептейтін негізгі үшбұрыш (p 2 2) арқылы бейнеленеді. Оны Коксетер тобы I2(p) немесе [n,2] түрінде, сондай-ақ призмалық Коксетер диаграммасы арқылы да көрсетуге болады: Төменде алғашқы бес диэдрлік симметриялар келтірілген: D2, D6. Диэдрлік симметрия Dp 4n ретімен сипатталады, ол бипирамиданың жақтарын бейнелейді, ал сферада – бойлық бойындағы экватор сызығы және n тең аралықтағы бойлық сызықтары түрінде көрінеді.

(6 2 2) D6h диэдрлік симметрия

Он екі бұрышты бипирамиданың жақтарында және шар бетінде кезектесіп боялған үшбұрыштарда 24 негізгі үшбұрыш кездеседі. #NamePictureTilingVertexfigureCoxeterandSchläflisymbolsЖақтар саны позиция бойыншаЭлементтер саны Поз. 2[6](2) Поз. 1[2](6) Поз. 0[2](6) Жақтар Қырлар ТөбелерD6Алтыбұрышты диэдр{6,2} {6} 2 6 6H6Алтыбұрышты госоэдр{2,6} {2} 6 6 2D12Қырқылған алтыбұрышты диэдр (он екібұрышты диэдрмен бірдей)t{6,2} {12} 2 12 12H6Қырқылған алтыбұрышты госоэдр (алтыбұрышты призмамен бірдей)t{2,6} {6} {4} 8 18 12P12Толық қырқылған алтыбұрышты диэдр (он екібұрышты призма)t0,1,2{2,6}=tr{2,6} {12} {4} {4} 14 36 24A6Бұралаң алтыбұрышты диэдр (алтыбұрышты антипризма)sr{2,6} {6} 2 {3} 14 24 12P3Кантик алтыбұрышты диэдр (үшбұрышты призма) = h2{6,2}=t{2,3}596P6Кантик бұралаң алтыбұрышты диэдр (алтыбұрышты призма)s2{6,2}=t{2,6} 8 18 12A3[2]Бұралаң алтыбұрышты госоэдр (үшбұрышты антипризмамен бірдей)(октаэдрмен бірдей)s{2,6}=sr{2,3} 8 12 6

Wythoff құрылыс операторлары

ОперацияSymbolCoxeter диаграммасыDescriptionParent{p,q}t0{p,q} Кез келген тұрақты көпбұрыш немесе мозаиканы түзету (r) r{p,q}t1{p,q}Барлық қабырғалары бір нүктеге дейін қысқартылған. Көпбұрыштың аталық және дуалдық беттері біріктірілген. Полиэдрлер екі тұрақты форманың қабырғаларының саны бойынша аталады: {p,q} және {q,p}, мысалы, кубоктаэдр r{4,3} текше мен октаэдр арасында. Екі рет түзетілген (2r) (сондай-ақ дуал) 2r{p,q}t2{p,q}Екі рет түзетілген (дуал) – бастапқы беттер нүктелерге дейін қысқартылып, әр аталық төбесінің астында жаңа бет пайда болады. Қабырғалар саны өзгермейді және 90 градусқа бұрылады. Екі рет түзетілгенді дуал ретінде қарастыруға болады. Қысқарту (t) t{p,q}t0,1{p,q}Әр бастапқы төбесі кесіліп, бос орын жаңа бетпен толтырылады. Қысқарудың еркіндік дәрежесі бар, ол біркелкі қысқартылған көпбұрыш құратын бір шешімге ие. Полиэдрдің бастапқы беттері екі еселенген және дуалдың беттерін қамтиды. Екі рет қысқарту (2t) (сондай-ақ, қысқартылған дуал) 2t{p,q}t1,2{p,q}Екі рет қысқарту дуалды қысқарту ретінде қарастырылуы мүмкін. Екі рет қиылған текше – қиылған октаэдр. Кенттеу (rr) (сондай-ақ, кеңейту) rr{p,q}Төбелерді қысқарудан басқа, әр бастапқы қабырға жаңа тікбұрышты беттермен алмастырылады. Біркелкі кенттеу аталық және дуалдық формалардың арасындағы ортаңғы нүктеде орналасқан. Кенттелген көпбұрыш рр{4,3} үшін ромбикубоктаэдр сияқты ромби р{p,q} деп аталады. Кент-қысқару (tr) (сондай-ақ, омнитрункация) tr{p,q}t0,1,2{p,q}Кенттеу және омнитрункация операциялары бірге қолданылып, аталық беттер екі еселенген, дуалдық беттер екі еселенген және бастапқы қабырғалар болған жерде шаршылар бар омнитрункацияланған форма құрылады. + Алмасу операцияларыОперацияSymbolCoxeter диаграммасыDescriptionSnub түзетілген (sr)sr{p,q}Барлық бастапқы беттер қабырғаларының саны жартысына дейін азаяды, ал шаршылар қабырғаларға айналады. Омнитрункацияланған формалардың әр төбесінде 3 бет болғандықтан, жаңа үшбұрыштар пайда болады. Әдетте, осы алмастырылған беттік формалар біркелкі көпбұрыш ретінде аяқталу үшін сәл деформацияланады. Соңғы нұсқаның болуы еркіндік дәрежесіне байланысты. Snub (s) s{p,2q}Алмас кесуCantic snub (s2) s2{p,2q}Алмас кенттеу (hrr) hrr{2p,2q}Тек біркелкі мозаикаларда (шегі жоқ көпбұрыштарда) ғана мүмкін, мысалы, жартылай (h) h{2p,q}Алмас, дәл сондай Cantic (h2) h2{2p,q}Жартылай түзетілген (hr) hr{2p,2q}Тек біркелкі мозаикаларда (шегі жоқ көпбұрыштарда) ғана мүмкін, немесе Quarter (q) q{2p,2q}Тек біркелкі мозаикаларда (шегі жоқ көпбұрыштарда) ғана мүмкін, мысалы, немесе