Введение
Изогональный полиэдр с правильными гранями
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
В геометрии однородный полиэдр имеет правильные многоугольники в качестве граней и является вершинно-транзитивным (то есть, существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). Следовательно, все вершины конгруэнтны. Однородные полиэдры могут быть правильными (если они также транзитивны по граням и рёбрам), квазиправильными (если они также транзитивны по рёбрам, но не по граням) или полуправильными (если они не транзитивны ни по рёбрам, ни по граням). Грани и вершины не обязательно должны быть выпуклыми, поэтому многие однородные полиэдры также являются звездными полиэдрами. Существует два бесконечных класса однородных полиэдров, а также 75 других полиэдров:
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
Бесконечные классы:
призмы,
антипризмы.
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
Выпуклые исключения:
5 платоновых тел: правильные выпуклые полиэдры,
13 архимедовых тел: 2 квазиправильных и 11 полуправильных выпуклых полиэдров.
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
Звёздные (невыпуклые) исключения:
4 полиэдра Кеплера — Пуансо: правильные невыпуклые полиэдры,
53 однородных звёздных полиэдра: 14 квазиправильных и 39 полуправильных.
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
Таким образом, 5 + 13 + 4 + 53 = 75. Существуют также многочисленные вырожденные однородные полиэдры с совпадающими парами рёбер, включая один, обнаруженный Джоном Скиллингом, называемый большим диснубидиромбододекаэдром (фигура Скиллинга). Двойственные полиэдры к однородным полиэдрам являются гранно-транзитивными (изоэдрическими) и имеют правильные вершинные фигуры, и обычно классифицируются параллельно с их двойственными (однородными) полиэдрами. Двойственный к правильному полиэдру является правильным, а двойственный к архимедову телу — каталонским телом. Понятие однородного полиэдра является частным случаем понятия однородного политопа, которое также применимо к фигурам в пространствах более высокой (или меньшей) размерности.
In geometry, a uniform polyhedron has regular polygons as faces and is vertex transitive (i. e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent. Uniform polyhedra may be regular (if also face and edge transitive), quasi regular (if also edge transitive but not face transitive), or semi regular (if neither edge nor face transitive). The faces and vertices need not be convex, so many of the uniform polyhedra are also star polyhedra. There are two infinite classes of uniform polyhedra, together with 75 other polyhedra:
Infinite classes:
prisms,
antiprisms. Convex exceptional:
5 Platonic solids: regular convex polyhedra,
13 Archimedean solids: 2 quasiregular and 11 semiregular convex polyhedra. Star (nonconvex) exceptional:
4 Kepler–Poinsot polyhedra: regular nonconvex polyhedra,
53 uniform star polyhedra: 14 quasiregular and 39 semiregular. Hence 5 + 13 + 4 + 53 = 75. There are also many degenerate uniform polyhedra with pairs of edges that coincide, including one found by John Skilling called the great disnub dirhombidodecahedron (Skilling's figure). Dual polyhedra to uniform polyhedra are face transitive (isohedral) and have regular vertex figures, and are generally classified in parallel with their dual (uniform) polyhedron. The dual of a regular polyhedron is regular, while the dual of an Archimedean solid is a Catalan solid. The concept of uniform polyhedron is a special case of the concept of uniform polytope, which also applies to shapes in higher dimensional (or lower dimensional) space.
Регулярные выпуклые полиэдры
Платоновы тела восходят к классической Греции и изучались пифагорейцами, Платоном (ок. 424 – 348 гг. до н.э.), Феететом (ок. 417 – 369 гг. до н.э.), Тимеем Локийским (ок. 420–380 гг. до н.э.) и Евклидом (ок. 300 г. до н.э.). Этруски обнаружили правильный додекаэдр до 500 г. до н.э.
Нерегулярные однородные выпуклые полиэдры
Кубоктаэдр был известен Платону. Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.) открыл все 13 архимедовых тел. Его оригинальная книга на эту тему была утеряна, но Папп Александрийский (ок. 290 – ок. 350 г. н.э.) упоминал, что Архимед перечислил 13 многогранников. Пьеро делла Франческа (1415 – 1492) заново открыл пять усечений платоновых тел – усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр – и включил иллюстрации и вычисления их метрических свойств в свою книгу De quinque corporibus regularibus. Он также рассматривал кубоктаэдр в другой книге. Лука Пачоли скопировал работу Франчески в «De divina proportione» в 1509 году, добавив ромбикубоктаэдр, назвав его икозигексаэдром из-за его 26 граней, который был изображен Леонардо да Винчи. Иоганн Кеплер (1571–1630) первым опубликовал полный список архимедовых тел в 1619 году. Он также выявил бесконечные семейства однородных призм и антипризм.
Регулярные звездные полиэдры
Кеплер (1619) открыл два из правильных многогранников Кеплера — Пуансо, малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Луи Пуансо (1809) открыл остальные два — великий додекаэдр и великий икосаэдр. Полный набор из четырёх многогранников был доказан Огюстеном Луи Коши в 1813 году и назван Артуром Кейли в 1859 году.
Другие 53 нерегулярные звездные полиэдры
Из оставшихся 53 Эдмунд Гесс (1878) обнаружил 2, Альберт Бадуро (1881) обнаружил еще 36, а Питч (1881) независимо обнаружил 18, из которых 3 ранее не были известны. Вместе они дали 41 многогранник. Геометр Х. С. М. Коксетер открыл остальные двенадцать в сотрудничестве с Дж. К. П. Миллером (1930–1932), но не опубликовал их. М. С. Лонгует-Хиггинс и Х. С. Лонгует-Хиггинс независимо друг от друга обнаружили одиннадцать из них. Лесавр и Мерсье в 1947 году вновь открыли пять из них и опубликовали список однородных многогранников, доказав, что список был полным. В 1974 году Магнус Веннингер опубликовал свою книгу «Модели полиэдров», в которой перечислены все 75 непризматических однородных полиэдров, с множеством ранее непубликованных названий, данных Норманом Джонсоном. Он независимо доказал полноту и показал, что если определение однородного многогранника смягчить, допустив совпадение ребер, то существует только одна дополнительная возможность (большой диснуб диромбидодекаэдр). В 1987 году Эдмонд Бонан нарисовал все однородные многогранники и их дуальные в 3D с помощью программы Turbo Pascal под названием Polyca. Большинство из них были показаны во время Международного конгресса Стереоскопического союза, проходившего в 1993 году в Конгресс-театре в Истборне, Англия, и повторно в 2005 году в Курсале в Безансоне, Франция. В 1993 году Зви Хар'Эл (1949–2008) создал полную калейдоскопическую конструкцию однородных полиэдров и их дуалей с помощью компьютерной программы Kaleido и обобщил ее в статье «Однородное решение для однородных полиэдров», представив рисунки 1–80. Также в 1993 году Р. Мадер перенес это решение Kaleido в Mathematica с немного отличающейся системой индексации. В 2002 году Питер В. Мессер обнаружил минимальный набор замкнутых выражений для определения основных комбинаторных и метрических характеристик любого однородного многогранника (и его дуального), основываясь только на его символе Витхоффа.
published the list of uniform polyhedra. proved their conjecture that the list was complete. In 1974, Magnus Wenninger published his book Polyhedron models, which lists all 75 nonprismatic uniform polyhedra, with many previously unpublished names given to them by Norman Johnson. independently proved the completeness and showed that if the definition of uniform polyhedron is relaxed to allow edges to coincide then there is just one extra possibility (the great disnub dirhombidodecahedron). In 1987, Edmond Bonan drew all the uniform polyhedra and their duals in 3D with a Turbo Pascal program called Polyca. Most of them were shown during the International Stereoscopic Union Congress held in 1993, at the Congress Theatre, Eastbourne, England; and again in 2005 at the Kursaal of Besançon, France. In 1993, Zvi Har'El (1949–2008) produced a complete kaleidoscopic construction of the uniform polyhedra and duals with a computer program called Kaleido and summarized it in a paper Uniform Solution for Uniform Polyhedra, counting figures 1 80. Also in 1993, R. Mäder ported this Kaleido solution to Mathematica with a slightly different indexing system. In 2002 Peter W. Messer discovered a minimal set of closed form expressions for determining the main combinatorial and metrical quantities of any uniform polyhedron (and its dual) given only its Wythoff symbol.
Однородные звездные полиэдры
57 непризматических невыпуклых форм, за исключением большого дирхомбикозидодекаэдра, получены с помощью построений Витхоффа в треугольниках Шварца.
(p 2 2) Призматическая [p,2], I2(p) семья (Dph диэдрическая симметрия)
Диэдрическая симметрия сферы порождает два бесконечных множества однородных полиэдров – призмы и антипризмы, а также два бесконечных множества вырожденных полиэдров – хосоэдры и диэдры, которые существуют в виде мощений на сфере. Диэдрическая симметрия представлена фундаментальным треугольником (p 2 2), учитывающим количество зеркал в каждой вершине. Она также может быть представлена группой Коксетера I2(p) или [n,2], а также призматической диаграммой Коксетера: Ниже приведены первые пять диэдрических симметрий: D2, D6. Диэдрическая симметрия Dp имеет порядок 4n и может быть представлена гранями бипирамиды, а на сфере – в виде экваториальной линии на меридиане и n равноудаленных линий долготы.
Below are the first five dihedral symmetries: D2 D6. The dihedral symmetry Dp has order 4n, represented the faces of a bipyramid, and on the sphere as an equator line on the longitude, and n equally spaced lines of longitude.
(6 2 2) D6h Диэдрическая симметрия
Существует 24 фундаментальных треугольника, видимых на гранях двенадцатиугольной бипирамиды и на чередующихся по цвету треугольниках на сфере. #НазваниеИзображениеМощениеВершинная фигураСимволы Коксетера и ШлефлиКоличество граней по положениюКоличество элементов Поз. 2[6](2) Поз. 1[2](6) Поз. 0[2](6) Грани Рёбра ВершиныD6Гексагональный диэдр{6,2} {6} 2 6 6H6Гексагональный госоэдр{2,6} {2} 6 6 2D12Усечённый гексагональный диэдр (то же, что и двенадцатиугольный диэдр)t{6,2} {12} 2 12 12H6Усечённый гексагональный госоэдр (то же, что и гексагональная призма)t{2,6} {6} {4} 8 18 12P12Омниусечённый гексагональный диэдр (Двенадцатиугольная призма)t0,1,2{2,6}=tr{2,6} {12} {4} {4} 14 36 24A6Скрученный гексагональный диэдр (Гексагональный антипризма)sr{2,6} {6} 2 {3} 14 24 12P3Кантический гексагональный диэдр (Треугольная призма) = h2{6,2}=t{2,3}596P6Кантический скрученный гексагональный диэдр (Гексагональная призма)s2{6,2}=t{2,6} 8 18 12A3[2]Скрученный гексагональный госоэдр (то же, что и треугольная антипризма) (то же, что и октаэдр)s{2,6}=sr{2,3} 8 12 6
Строители Wythoff
ОперацияSymbolCoxeterdiagramDescriptionParent{p,q}t0{p,q} Любой правильный многогранник или мозаика Ректифицированный (r)r{p,q}t1{p,q}Грани полностью усечены до отдельных точек. Многогранник теперь имеет объединенные грани родителя и двойственного. Многогранники называются по количеству сторон двух правильных форм: {p,q} и {q,p}, например, кубооктаэдр для r{4,3} между кубом и октаэдром. Биректифицированный (2r) (также двойственный)2r{p,q}t2{p,q}Биректификация (двойственная) – это дальнейшее усечение, при котором исходные грани сводятся к точкам. Под каждой родительской вершиной образуются новые грани. Количество ребер остается неизменным и поворачивается на 90 градусов. Биректификацию можно рассматривать как двойственную. Усеченный (t)t{p,q}t0,1{p,q}Каждая исходная вершина отсекается, и образовавшееся пространство заполняется новой гранью. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, создающее однородный усеченный многогранник. Многогранник имеет исходные грани, удвоенные по количеству сторон, и содержит грани двойственного. Биусеченный (2t) (также усеченный двойственный)2t{p,q}t1,2{p,q}Биусечение можно рассматривать как усечение двойственного. Биусеченный куб – это усеченный октаэдр. Кантелляция (rr) (Также расширенный)rr{p,q}В дополнение к усечению вершин, каждый исходный край скошен с появлением новых прямоугольных граней на их месте. Однородная кантелляция находится посередине между родительской и двойственной формами. Кантеллированный многогранник называется ромбический {p,q}, например, ромбикубооктаэдр для rr{4,3}. Кантитрусцированный (tr) (Также омнитрусцированный)tr{p,q}t0,1,2{p,q}Операции усечения и кантелляции применяются вместе для создания омнитрусцированной формы, у которой грани родителя удваиваются по количеству сторон, грани двойственного удваиваются по количеству сторон, и квадраты занимают место исходных ребер. + Операции чередованияOperationSymbolCoxeterdiagramDescriptionSnub rectified (sr)sr{p,q}Чередование кантитрусцированной. Все исходные грани в конечном итоге имеют вдвое меньше сторон, а квадраты вырождаются в ребра. Поскольку омнитрусцированные формы имеют 3 грани на вершину, образуются новые треугольники. Обычно эти чередующиеся граничные формы затем слегка деформируются, чтобы снова стать однородными многогранниками. Возможность последнего изменения зависит от степени свободы. Снуб (s)s{p,2q}Чередующееся усечениеКантик-снуб (s2)s2{p,2q}Чередующаяся кантелляция (hrr)hrr{2p,2q}Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), чередование Например, Половина (h)h{2p,q}Чередование, то же самое, что и Кантик (h2)h2{2p,q}То же самое, что и Половина ректифицированный (hr)hr{2p,2q}Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), чередование, то же самое, что и или Например, = или Четверть (q)q{2p,2q}Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), то же самое, что и Например, = или