Кіріспе
Математикада интервалдық алмасу трансформациясы – шеңбердің айналуын кеңейтетін динамикалық жүйе. Фазалық кеңістік бірлік аралықтан тұрады, ал трансформация аралықты бірнеше кіші аралықтарға бөліп, содан кейін осы кіші аралықтарды орналастыру арқылы әрекет етеді. Олар көпбұрышты бильярдтарды зерттеуде және ауданды сақтайтын ағындарда табиғи түрде кездеседі.
Қасиеттері
Кез келген интервал алмасу трансформациясы – Лебег өлшемін сақтайтын өзіне биекция. Ол нүктелердің шекті санынан басқасы үздіксіз. Интервал алмасу трансформациясының керісі де интервал алмасу трансформациясы болып табылады. Шын мәнінде, бұл барлық және (цикл белгісінде) үшін түрлендіру, және егер интервалдың ұштарын қосып шеңбер жасасақ, онда бұл тек шеңбердің айналуы болады. Вейл тең үлестіру теоремасы ұзындығы иррационалды болса, онда трансформация ерекше эргодикалық деп мәлімдейді. Шамамен айтқанда, бұл нүктелердің орбиталары біркелкі түрде тегіс таратылған дегенді білдіреді. Екінші жағынан, егер рационалды болса, онда интервалдың әрбір нүктесі периодты болады, ал периоды – (ең төменгі түрде жазылған) бөлшектің бөлімі. Егер , және егер белгілі бір дегенерациясыз шарттар орындалса (яғни, мұндай бүтін сан жоқ болса), М.Киннің болжамын растаған терең теорема, Уильям А. Вич және Говард Мазур тәуелсіз түрде дәлелдеген, бірлік симплекстегі мәндерінің көпшілігі үшін интервал алмасу трансформациясы қайтадан ерекше эргодикалық болады. Алайда, жағдайында эргодикалық, бірақ ерекше эргодикалық емес мәндері де бар. Мұндай жағдайларда да, трансформацияның эргодикалық инвариантты өлшемдерінің саны шекті және ең көп дегенде . Интервалдық функциялардың топологиялық энтропиясы нөлге тең.
If and (in cycle notation), and if we join up the ends of the interval to make a circle, then is just a circle rotation. The Weyl equidistribution theorem then asserts that if the length is irrational, then is uniquely ergodic. Roughly speaking, this means that the orbits of points of are uniformly evenly distributed. On the other hand, if is rational then each point of the interval is periodic, and the period is the denominator of (written in lowest terms). If , and provided satisfies certain non degeneracy conditions (namely there is no integer such that ), a deep theorem which was a conjecture of M. Keane and due independently to William A. Veech and to Howard Masur asserts that for almost all choices of in the unit simplex the interval exchange transformation is again uniquely ergodic. However, for there also exist choices of so that is ergodic but not uniquely ergodic. Even in these cases, the number of ergodic invariant measures of is finite, and is at most
Interval maps have a topological entropy of zero.
Жоғары өлшемдер
Екі және одан жоғары өлшемді жалпыламаларға көпбұрыштарды алмастыру, көпжақты алмастыру және кесімдік изометриялар кіреді.