Введение

В математике преобразование обмена интервалами — это тип динамической системы, обобщающий вращение окружности. Фазовое пространство состоит из единичного интервала, а преобразование действует посредством разбиения интервала на несколько подинтервалов и последующей перестановки этих подинтервалов. Они возникают естественным образом при изучении многоугольных бильярдов и потоков, сохраняющих площадь.

Свойства

Любое преобразование обмена интервалами является биекцией на себя, сохраняющей меру Лебега. Оно непрерывно, за исключением конечного числа точек. Обратное преобразование обмена интервалами также является преобразованием обмена интервалами. Фактически, это преобразование, где для всех . Если и (в циклической записи), и если соединить концы интервала в круг, то это просто вращение окружности. Теорема Вейля об равнораспределении утверждает, что если длина иррациональна, то преобразование является уникально эргодическим. Грубо говоря, это означает, что орбиты точек равномерно распределены. С другой стороны, если рационально, то каждая точка интервала периодична, а период равен знаменателю (в несократимом виде). Если , и при выполнении определенных условий невырожденности (а именно, не существует целого числа , такого, что ), то глубокая теорема, являвшаяся гипотезой М. Кина и доказанная независимо Уильямом А. Вичем и Говардом Масуром, утверждает, что для почти всех выборов в единичном симплексе преобразование обмена интервалами снова является уникально эргодическим. Однако для также существуют выборы , такие, что преобразование эргодично, но не уникально эргодично. Даже в этих случаях число эргодических инвариантных мер конечно и не превосходит . Интервальные отображения имеют топологическую энтропию, равную нулю.

Более высокие размеры

Двухмерные и многомерные обобщения включают обмены многоугольников, обмены многогранников и кусочно-изометрические преобразования.