Кіріспе
Вакуумдағы Эйнштейн теңдеулерін қанағаттандыратын төрт өлшемді толық Риманн көптүрлілігі. Математикалық физика мен дифференциалдық геометрияда гравитациялық инстантон – вакуумдағы Эйнштейн теңдеулерін қанағаттандыратын төрт өлшемді толық Риманн көптүрлілігі. Олар Янг-Милл теориясындағы инстантонның гравитациялық кванттық теорияларындағы аналогы болғандықтан осылай аталады. Осы Янг-Милл өзіндік-қос инстантондарымен саланыстыруға сәйкес, гравитациялық инстантондар әдетте үлкен қашықтықтарда төрт өлшемді Евклид кеңістігіне ұқсайды және өзіндік-қос Риман тензорына ие деп есептеледі. Математикалық тұрғыдан алғанда, бұл олардың асимптотикалық жағынан Евклидтік (немесе, мүмкін, асимптотикалық жағынан жазық) гиперкэхлер 4-көптүрліліктері екенін білдіреді, және осы мағынада олар Эйнштейн көптүрліліктерінің ерекше мысалдары болып табылады. Физикалық тұрғыдан қарағанда, гравитациялық инстантон – Лоренц метрикасына қарама-қарсы, оң анықталған вакуумдық Эйнштейн теңдеулерінің ерекше емес шешімі. Гравитациялық инстантонның бастапқы тұжырымдамасының көптеген мүмкін жалпыламалары бар: мысалы, гравитациялық инстантондарға нөлдік емес космологиялық тұрақты немесе өзіндік-қос емес Риман тензоры болуына рұқсат етуге болады. Метриканың асимптотикалық Евклидтік болуына қатысты шешімдерді де жеңілдетуге болады. Гравитациялық инстантондарды құрастырудың көптеген әдістері бар, олардың ішінде Гиббонс-Хокинг Ансацы, твистор теориясы және гиперкэхлер коэффициенттік құрылысы бар.
In mathematical physics and differential geometry, a gravitational instanton is a four dimensional complete Riemannian manifold satisfying the vacuum Einstein equations. They are so named because they are analogues in quantum theories of gravity of instantons in Yang–Mills theory. In accordance with this analogy with self dual Yang–Mills instantons, gravitational instantons are usually assumed to look like four dimensional Euclidean space at large distances, and to have a self dual Riemann tensor. Mathematically, this means that they are asymptotically locally Euclidean (or perhaps asymptotically locally flat) hyperkähler 4 manifolds, and in this sense, they are special examples of Einstein manifolds. From a physical point of view, a gravitational instanton is a non singular solution of the vacuum Einstein equations with positive definite, as opposed to Lorentzian, metric. There are many possible generalizations of the original conception of a gravitational instanton: for example one can allow gravitational instantons to have a nonzero cosmological constant or a Riemann tensor which is not self dual. One can also relax the boundary condition that the metric is asymptotically Euclidean. There are many methods for constructing gravitational instantons, including the Gibbons–Hawking Ansatz, twistor theory, and the hyperkähler quotient construction.
Кіріспе
Гравитациялық инстантондар қызықты, себебі олар гравитацияны кванттау туралы түсінік береді. Мысалы, оң мәнді асимптотикалық жергілікті еуклидтік метрикалар қажет, өйткені олар оң әрекет туралы болжамға сәйкес келеді; төменнен шексіз болатын әрекеттер кванттық жол интегралында айырмашылық тудырады. Төрт өлшемді Кэлер-Эйнштейн манифольді өзіне-өзі дуалды Риман тензорына ие. Балама ретінде, өзіне-өзі дуалды гравитациялық инстантон – төрт өлшемді толық гиперкэлер манифольді. Гравитациялық инстантондар өзіне-өзі дуалды Янг-Миллс инстантондарына ұқсас. Риман қисықтық тензорының құрылымына қатысты жазықтық және өзіне-өзі дуалдыққа байланысты бірнеше ерекшеліктерді атауға болады. Оларға мыналар жатады:
Эйнштейн (нөлдік емес космологиялық тұрақты)
Риччи жазықтығы (Риччи тензорының жоғалуы)
Конформдық жазықтық (Вейль тензорының жоғалуы)
Өзіне-өзі дуалдық
Өзіне-өзі дуалдылыққа қарсы
Конформдық өзіне-өзі дуалдық
Конформдық өзіне-өзі дуалдылыққа қарсы
Einstein (non zero cosmological constant)
Ricci flatness (vanishing Ricci tensor)
Conformal flatness (vanishing Weyl tensor)
Self duality
Anti self duality
Conformally self dual
Conformally anti self dual
Таксономия
"Шекті жағдайларды", яғни шексіздікте метриканың асимптотикасын анықтау арқылы гравитациялық инстантондар бірнеше классқа бөлінеді, мысалы, асимптотикалық жергілікті евклидтік кеңістіктер (ALE кеңістіктері), асимптотикалық жергілікті тегіс кеңістіктер (ALF кеңістіктері). Оларды Риман тензорының өзіне-дуалдылығы, Вейль тензорының өзіне-дуалдылығы, немесе екеуінің де болмауы; Кэхлер көптігі болуы немесе болмауы; және Эйлер сипаттамасы, Хирзебрух қолтаңбасы (Понтрягин класы), Раррита-Швингер индексі (спин 3/2 индексі) немесе жалпы Черн класы сияқты әр түрлі сипаттама кластарымен сипаттауға болады. Спин құрылымын қолдау қабілеті (яғни, үйлесімді Дирак спинерлеріне мүмкіндік беру) – тағы бір тартымды қасиет.
Мысалдар тізімі
Эгучи және авторлар гравитациялық инстантонның бірнеше мысалын келтіреді. Олардың ішінде: Жазық кеңістік, тор және Евклид де Ситтер кеңістігі, яғни 4 сферадағы стандартты метрика. Сфералардың көбейтіндісі. Шварцшильд метрикасы және Керр метрикасы. Эгучи-Хансон инстантоны, төменде келтірілген. Тауб-НУТ шешімі, төменде келтірілген. Күрделі проективті жазықтықтағы Фубини-Студи метрикасы. Күрделі проективті жазықтықта жақсы анықталған Дирак спинорлары жоқ екенін ескеріңіз. Яғни, бұл спиндік құрылым емес. Дегенмен, оған спинк құрылымын беруге болады. Беттік кеңістік, екі күрделі проективті жазықтықтың тікелей қосындысындағы айналмалы компактты метрика. Төменде келтірілген Гиббонс-Хокинг көп орталықты метрикасы. Тауб болты метрикасы және айналмалы Тауб болты метрикасы. "Болт" метрикасының түбінде цилиндрлік типтегі координаталық сингулярлық бар, ал "жаңғақ" метрикасының түбінде сфералық координаталық сингулярлық бар. Екі жағдайда да координаталық сингулярлықты Евклидтік координаталарға ауысу арқылы жоюға болады. K3 беттері. Асимптотикалық жергілікті Евклидтік өзіндік дуалды көптүрліліктер, оның ішінде линзалық кеңістіктер, диэдрлік топтардың екі еселі жабындары, тетраэдрлік топ, октаэдрлік топ және икосаэдрлік топ. Егючи-Хансон инстантонына k=1 сәйкес екенін, ал k-ның жоғары мәндері үшін Гиббонс-Хокинг көп орталықты метрикасына сәйкес екенін ескеріңіз. Бұл толық емес тізім, басқалары да бар.
Flat space , the torus and the Euclidean de Sitter space , i. e. the standard metric on the 4 sphere. The product of spheres The Schwarzschild metric and the Kerr metric The Eguchi–Hanson instanton , given below. The Taub–NUT solution, given below. The Fubini–Study metric on the complex projective plane Note that the complex projective plane does not support well defined Dirac spinors. That is, it is not a spin structure. It can be given a spinc structure, however. Page space, a rotating compact metric on the direct sum of two complex projective planes The Gibbons–Hawking multi center metrics, given below. The Taub bolt metric and the rotating Taub bolt metric. The "bolt" metrics have a cylindrical type coordinate singularity at the origin, as compared to the "nut" metrics, which have a sphere coordinate singularity. In both cases, the coordinate singularity can be removed by switching to Euclidean coordinates at the origin. The K3 surfaces. The asymptotically locally Euclidean self dual manifolds, including the lens spaces , the double coverings of the dihedral groups, the tetrahedral group, the octahedral group, and the icosahedral group. Note that corresponds to the Eguchi–Hanson instanton, while for higher k, the corresponds to the Gibbons–Hawking multi center metrics. This is an incomplete list; there are others.
Мысалдар
Төмендегі гравитациялық инстантондық шешімдерді үш сфера S3-те (Sp(1) немесе SU(2) тобы ретінде қарастырылатын) сол инвариантты 1-формалар арқылы жазу ыңғайлы болады. Оларды Эйлер бұрыштарының көмегімен анықтауға болады.
Ескеріңіз, циклдік үшін.
FLRW-метриясы гравитациялық инстантон ретінде
2021 жылы егер жапырақты максималды симметриялық кеңістіктің қисықтық параметрін үздіксіз функция ретінде қарастырса, гравитациялық әрекет, Эйнштейн-Хилберт әрекеті мен Гиббонс-Хокинг-Йорк шекаралық мүшесінің қосындысы ретінде, нүктелік бөлшектің әрекетіне айналады. Онда траектория масштабтық фактор болып табылады, ал қисықтық параметрі потенциал ретінде қарастырылады. Осылай шектелген шешімдер үшін жалпы салыстырмалылық теориясы топологиялық Янг-Миллз теориясы түріне ие болады.