Аполлоний мәселесі: үш шеңберге жанасатын шеңберлерді салу

Кіріспе

Евклидтік жазықтық геометриясында Аполлонийдің мәселесі – жазықтықтағы үш берілген шеңберге жанасатын шеңберлерді салу (1-сурет). Пергалық Аполлоний (б.з.д. 262 – б.з.д. 190 ж.) өзінің «Ἐπαφαί» («Тангенциялар») еңбегінде осы әйгілі мәселені қойды және шешті; бұл еңбек жоғалды, бірақ Александриялық Папптың 4-ғасырлық есебінде оның нәтижелері сақталған. Көбінесе үш берілген шеңберге жанасатын сегіз түрлі шеңбер болады (2-сурет), үш берілген шеңберді екі топқа бөлудің әр жолы үшін шешімдер жұбы бар (3 кардиналдығы бар жиынды 2 бөлікке бөлудің 4 тәсілі бар). 16 ғасырда Адриан ван Румен қиылысатын гиперболалар арқылы мәселені шешті, бірақ бұл шешім тек қана сызғыш пен циркульді пайдаланбайды. Франсуа Виетт шектейтін жағдайларды пайдаланып шешім тапты: үш берілген шеңбердің кез келгенінің радиусын нөлге (нүктеге) дейін қысқартуға немесе шексіздікке (түзуге) дейін ұзартуға болады. Виеттің қарапайым шектейтін жағдайларды пайдаланып күрделірек жағдайларды шешу әдісі Аполлонийдің әдісін қайта құруға мүмкіндік береді. Исаак Ньютон ван Руменнің әдісін жеңілдетіп, Аполлонийдің мәселесінің үш белгілі нүктеге дейінгі арақашықтықтардың айырмасы бойынша позицияны табуға тең екенін көрсетті. Бұл навигация және LORAN сияқты позициялау жүйелерінде қолданылады. Кейінірек математиктер геометриялық мәселені алгебралық теңдеулерге айналдыратын алгебралық әдістерді енгізді. Бұл әдістер Аполлоний мәселесіне тән симметрияларды пайдаланып оңайлатылды: мысалы, шешім шеңберлері көбінесе жұптарда кездеседі, бір шешім берілген шеңберлерді қамтиды, ал екіншісі оларды жоққа шығарады (2-сурет). Джозеф Диас Гергонн осы симметрияны сызғыш пен циркульді пайдаланып әдемі шешім табу үшін қолданды, ал басқа математиктер берілген шеңберлердің конфигурациясын оңайлату үшін шеңбердегі керісу сияқты геометриялық түрлендірулерді қолданды. Бұл жетістіктер алгебралық әдістерге геометриялық негізді (Ли сфералық геометриясын пайдалана отырып) қамтамасыз етті және берілген шеңберлердің 33 негізгі түрлі конфигурациялары бойынша шешімдерді жіктеді. Аполлонийдің мәселесі одан әрі зерттеулерге ынталанды. Үш өлшемге (төрт берілген сфераға жанасатын сфераны салу) және одан да жоғары деңгейдегі жалпыламалар зерттелді. Бір-біріне жанасатын үш шеңбердің конфигурациясына ерекше назар аударылды. Рене Декарт шешім шеңберлерінің радиустарын және берілген шеңберлерді байланыстыратын формула берді, ол қазір Декарт теоремасы деп аталады. Бұл жағдайда Аполлоний мәселесін итеративті түрде шешу Аполлоний тығынына әкеледі, ол басылымда сипатталған ең алғашқы фракталдардың бірі және Форд шеңберлері мен Харди-Литлвуд шеңбер әдісі арқылы сандар теориясында маңызды рөл атқарады.

Construct circles that are tangent to three given circles in a plane

In Euclidean plane geometry, Apollonius's problem is to construct circles that are tangent to three given circles in a plane (Figure 1). Apollonius of Perga (c. 262 BC – c. 190 BC) posed and solved this famous problem in his work Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"); this work has been lost, but a 4th century AD report of his results by Pappus of Alexandria has survived. Three given circles generically have eight different circles that are tangent to them (Figure 2), a pair of solutions for each way to divide the three given circles in two subsets (there are 4 ways to divide a set of cardinality 3 in 2 parts). In the 16th century, Adriaan van Roomen solved the problem using intersecting hyperbolas, but this solution does not use only straightedge and compass constructions. François Viète found such a solution by exploiting limiting cases: any of the three given circles can be shrunk to zero radius (a point) or expanded to infinite radius (a line). Viète's approach, which uses simpler limiting cases to solve more complicated ones, is considered a plausible reconstruction of Apollonius' method. The method of van Roomen was simplified by Isaac Newton, who showed that Apollonius' problem is equivalent to finding a position from the differences of its distances to three known points. This has applications in navigation and positioning systems such as LORAN. Later mathematicians introduced algebraic methods, which transform a geometric problem into algebraic equations. These methods were simplified by exploiting symmetries inherent in the problem of Apollonius: for instance solution circles generically occur in pairs, with one solution enclosing the given circles that the other excludes (Figure 2). Joseph Diaz Gergonne used this symmetry to provide an elegant straightedge and compass solution, while other mathematicians used geometrical transformations such as reflection in a circle to simplify the configuration of the given circles. These developments provide a geometrical setting for algebraic methods (using Lie sphere geometry) and a classification of solutions according to 33 essentially different configurations of the given circles. Apollonius' problem has stimulated much further work. Generalizations to three dimensions—constructing a sphere tangent to four given spheres—and beyond have been studied. The configuration of three mutually tangent circles has received particular attention. René Descartes gave a formula relating the radii of the solution circles and the given circles, now known as Descartes' theorem. Solving Apollonius' problem iteratively in this case leads to the Apollonian gasket, which is one of the earliest fractals to be described in print, and is important in number theory via Ford circles and the Hardy–Littlewood circle method.

Мәселе туралы түсінік

Аполлоний мәселесінің жалпы тұжырымы – жазықтықтағы үш берілген нысанға жанасатын бір немесе бірнеше шеңберлерді салу, мұнда нысан – кез келген өлшемдегі түзу, нүкте немесе шеңбер болуы мүмкін. Шешім шеңбері берілген шеңберлердің әрқайсысына іштен немесе сырттан жанасуы мүмкін. Сырттан жанасу – екі шеңбердің жанасу нүктесінде бір-бірінен иылып тұруы; олар сол нүктедегі жанама сызықтың қарама-қарсы жақтарында жатады және бірін-бірі алып жатады. Олардың орталықтары арасындағы қашықтық радиустарының қосындысына тең. Керісінше, іштен жанасу – екі шеңбердің түйісу нүктесінде бірдей иылуы; екі шеңбер жанама сызықтың бір жағында жатады және бір шеңбер екіншісін қоршайды. Бұл жағдайда олардың орталықтары арасындағы қашықтық радиустарының айырмасына тең. Мысалы, 1-суреттегі қызғылт шеңбер оң жақтағы орташа өлшемді қара шеңберге іштен жанасады, ал сол жақтағы ең кішкентай және ең үлкен шеңберлерге сырттан жанасады. Аполлоний мәселесін сондай-ақ үш берілген нүктеге дейінгі арақашықтықтарының айырмасы үш белгілі мәнге тең болатын бір немесе бірнеше нүктені табу мәселесі ретінде де тұжырымдауға болады. Радиусы rs болатын шешім шеңбері және радиустары r1, r2 және r3 болатын үш берілген шеңберді қарастырайық. Егер шешім шеңбері барлық үш берілген шеңберге сырттан жанасатын болса, онда шешім шеңберінің орталығы мен берілген шеңберлердің орталықтары арасындағы қашықтықтар сәйкесінше , және болады. Сондықтан, осы қашықтықтардың айырмасы тұрақты шама, мысалы; олар берілген шеңберлердің белгілі радиустарына ғана байланысты, ал шешім шеңберінің радиусы rs-ке байланысты емес, ол өрнектен шығарылады. Аполлоний мәселесінің осы екінші тұжырымын іштен жанасатын шешім шеңберлеріне (мұнда орталықтан орталыққа дейінгі қашықтық радиустардың айырмасына тең) жалпылауға болады, арақашықтықтардың сәйкес айырмасын арақашықтықтардың қосындысына өзгерту арқылы, сонда шешім шеңберінің радиусы rs қайтадан өрнектен шығарылады. Орталықтан орталыққа дейінгі қашықтықтар тұрғысынан тұжырымдау Адриаан ван Румен мен Исаак Ньютонның төмендегі шешімдерінде, сондай-ақ гиперболалық орналасуда немесе трилатерацияда, яғни үш белгілі нүктеге дейінгі арақашықтықтардың айырмасы бойынша орналасқан жерді табу міндетінде пайдалы. Мысалы, LORAN сияқты навигациялық жүйелер қабылдағыштың орнын үш белгілі нүктеден келетін сигналдардың келу уақытының айырмасы бойынша анықтайды, бұл осы хабар таратушылардан қашықтықтардың айырмасына сәйкес келеді. Бұл "геометрияның ең танымал" мәселесі деп аталады. Пергалық Аполлонийдің бастапқы тәсілі жоғалып кетті, бірақ Александриялық Паппустың сипаттамасындағы нұсқауларға негізделген Франсуа Виет және басқалар оны қайта құрастыруға тырысты. Ван Руменнің әдісін 1687 жылы Исаак Ньютон өзінің "Principia" еңбегінде және 1881 жылы Джон Кейси жетілдірді. Аполлоний мәселесін шешуде сәтті болғанымен, ван Руменнің әдісінің бір кемшілігі бар. Классикалық Евклид геометриясындағы бағалы қасиет – тек циркуль мен түзу сызық қолданып мәселелерді шешу мүмкіндігі. Көптеген құрылымдар тек осы құралдарды қолдану арқылы мүмкін емес, мысалы, бұрышты үш тең бөлікке бөлу. Алайда, мұндай "мүмкін емес" көптеген мәселелерді гиперболалар, эллипстер және параболалар (конустық қималар) сияқты қиылысатын қисықтар арқылы шешуге болады. Мысалы, көлемді екі еселеу (берілген көлемнен екі есе үлкен көлемді құру мәселесі) тек түзу сызық пен циркульді қолдану арқылы орындалуы мүмкін емес, бірақ Менахмус екі параболаның қиылысуын пайдалану арқылы мәселені шешуге болатынын көрсетті. Сондықтан ван Руменнің екі гиперболаның қиылысуын пайдаланатын шешімі мәселе циркуль мен түзу сызық қасиеттерін қанағаттандыра ма, жоқ па, оны анықтамады. Ван Руменнің досы Франсуа Виет, ван Руменді Аполлоний мәселесін шешуге алғашқыда шақырған, тек циркуль мен түзу сызықты қолданатын әдісті әзірледі. Виеттің шешіміне дейін Региомонтан Аполлоний мәселесін түзу сызық пен циркульмен шешуге бола ма, жоқ па, күмән келтірді. Виет алдымен Аполлоний мәселесінің кейбір қарапайым ерекше жағдайларын шешті, мысалы, үш берілген нүктеден өтетін шеңберді табу, егер нүктелер әртүрлі болса, онда бір ғана шешім бар; содан кейін ол күрделірек ерекше жағдайларды шешу үшін, кейбір жағдайларда берілген шеңберлерді кішірету немесе үлкейту арқылы жасады. Аполлоний мәселесінің басқа да бірнеше геометриялық шешімдері 19 ғасырда жасалды. Ең танымал шешімдер Жан Виктор Понсле (1811) және Жозеф Диаз Жергонн (1814) шешімдері. Понсленің дәлелі шеңберлердің гомотетикалық орталықтарына және нүктенің күшіне сүйенсе, Жергонн әдісі шеңбердегі сызықтар мен олардың полюстері арасындағы қосымша қатынасты пайдаланады. Шеңбер инверсиясын пайдалану әдістерін Юлиус Петерсен 1879 жылы ұсынды; мысалы, HSM Коксетердің сақина тәрізді шешім әдісі. Тағы бір тәсіл – Николя Фусс, Лазар Карно және Огюстен Луи Коши қолданған жатық сфера геометриясы.

The general statement of Apollonius' problem is to construct one or more circles that are tangent to three given objects in a plane, where an object may be a line, a point or a circle of any size. The solution circle may be either internally or externally tangent to each of the given circles. An external tangency is one where the two circles bend away from each other at their point of contact; they lie on opposite sides of the tangent line at that point, and they exclude one another. The distance between their centers equals the sum of their radii. By contrast, an internal tangency is one in which the two circles curve in the same way at their point of contact; the two circles lie on the same side of the tangent line, and one circle encloses the other. In this case, the distance between their centers equals the difference of their radii. As an illustration, in Figure 1, the pink solution circle is internally tangent to the medium sized given black circle on the right, whereas it is externally tangent to the smallest and largest given circles on the left. Apollonius' problem can also be formulated as the problem of locating one or more points such that the differences of its distances to three given points equal three known values. Consider a solution circle of radius rs and three given circles of radii r1, r2 and r3. If the solution circle is externally tangent to all three given circles, the distances between the center of the solution circle and the centers of the given circles equal , and , respectively. Therefore, differences in these distances are constants, such as ; they depend only on the known radii of the given circles and not on the radius rs of the solution circle, which cancels out. This second formulation of Apollonius' problem can be generalized to internally tangent solution circles (for which the center center distance equals the difference of radii), by changing the corresponding differences of distances to sums of distances, so that the solution circle radius rs again cancels out. The re formulation in terms of center center distances is useful in the solutions below of Adriaan van Roomen and Isaac Newton, and also in hyperbolic positioning or trilateration, which is the task of locating a position from differences in distances to three known points. For example, navigation systems such as LORAN identify a receiver's position from the differences in arrival times of signals from three fixed positions, which correspond to the differences in distances to those transmitters. which has been called "the most famous of all" geometry problems. The original approach of Apollonius of Perga has been lost, but reconstructions have been offered by François Viète and others, based on the clues in the description by Pappus of Alexandria. Van Roomen's method was refined in 1687 by Isaac Newton in his Principia, and by John Casey in 1881. Although successful in solving Apollonius' problem, van Roomen's method has a drawback. A prized property in classical Euclidean geometry is the ability to solve problems using only a compass and a straightedge. Many constructions are impossible using only these tools, such as dividing an angle in three equal parts. However, many such "impossible" problems can be solved by intersecting curves such as hyperbolas, ellipses and parabolas (conic sections). For example, doubling the cube (the problem of constructing a cube of twice the volume of a given cube) cannot be done using only a straightedge and compass, but Menaechmus showed that the problem can be solved by using the intersections of two parabolas. Therefore, van Roomen's solution—which uses the intersection of two hyperbolas—did not determine if the problem satisfied the straightedge and compass property. Van Roomen's friend François Viète, who had urged van Roomen to work on Apollonius' problem in the first place, developed a method that used only compass and straightedge. Prior to Viète's solution, Regiomontanus doubted whether Apollonius' problem could be solved by straightedge and compass. Viète first solved some simple special cases of Apollonius' problem, such as finding a circle that passes through three given points which has only one solution if the points are distinct; he then built up to solving more complicated special cases, in some cases by shrinking or swelling the given circles. Several other geometrical solutions to Apollonius' problem were developed in the 19th century. The most notable solutions are those of Jean Victor Poncelet (1811) and of Joseph Diaz Gergonne (1814). Whereas Poncelet's proof relies on homothetic centers of circles and the power of a point theorem, Gergonne's method exploits the conjugate relation between lines and their poles in a circle. Methods using circle inversion were pioneered by Julius Petersen in 1879; one example is the annular solution method of HSM Coxeter. Another approach uses Lie sphere geometry, Nicolas Fuss, Lazare Carnot, and Augustin Louis Cauchy.

Кесілетін гиперболалар

Адриаан van Roomen-нің (1596) шешімі екі гиперболаның қиылысына негізделген. Үш берілген шеңбер және кез келген шешім шеңбері бір жазықтықта жатуы керек болғандықтан, олардың орналасуы олардың орталықтарының (x, y) координаттары арқылы сипатталуы мүмкін. Мысалы, берілген үш шеңбердің орталықтарының координаттары (x1, y1), (x2, y2) және (x3, y3) түрінде, ал шешім шеңберінікі (xs, ys) түрінде жазылуы мүмкін. Сол сияқты, берілген және шешім шеңберлерінің радиустары сәйкесінше r1, r2, r3 және rs деп белгіленеді. Шешім шеңберінің үш берілген шеңбердің әрқайсысына дәл тиюі керек екендігі xs, ys және rs үшін үш байланысқан квадрат теңдеу түрінде өрнектеледі:

The solution of Adriaan van Roomen (1596) is based on the intersection of two hyperbolas. Since the three given circles and any solution circle must lie in the same plane, their positions can be specified in terms of the (x, y) coordinates of their centers. For example, the center positions of the three given circles may be written as (x1, y1), (x2, y2) and (x3, y3), whereas that of a solution circle can be written as (xs, ys). Similarly, the radii of the given circles and a solution circle can be written as r1, r2, r3 and rs, respectively. The requirement that a solution circle must exactly touch each of the three given circles can be expressed as three coupled quadratic equations for xs, ys and rs:

The three numbers s1, s2 and s3 on the right hand side, called signs, may equal ±1, and specify whether the desired solution circle should touch the corresponding given circle internally (s = 1) or externally (s = −1). For example, in Figures 1 and 4, the pink solution is internally tangent to the medium sized given circle on the right and externally tangent to the smallest and largest given circles on the left; if the given circles are ordered by radius, the signs for this solution are "− + −". Since the three signs may be chosen independently, there are eight possible sets of equations , each set corresponding to one of the eight types of solution circles. The general system of three equations may be solved by the method of resultants. When multiplied out, all three equations have xs2 + ys2 on the left hand side, and rs2 on the right hand side. Subtracting one equation from another eliminates these quadratic terms; the remaining linear terms may be re arranged to yield formulae for the coordinates xs and ys

where M, N, P and Q are known functions of the given circles and the choice of signs. Substitution of these formulae into one of the initial three equations gives a quadratic equation for rs, which can be solved by the quadratic formula. Substitution of the numerical value of rs into the linear formulae yields the corresponding values of xs and ys. The signs s1, s2 and s3 on the right hand sides of the equations may be chosen in eight possible ways, and each choice of signs gives up to two solutions, since the equation for rs is quadratic. This might suggest (incorrectly) that there are up to sixteen solutions of Apollonius' problem. However, due to a symmetry of the equations, if (rs, xs, ys) is a solution, with signs si, then so is (−rs, xs, ys), with opposite signs −si, which represents the same solution circle. Therefore, Apollonius' problem has at most eight independent solutions (Figure 2). One way to avoid this double counting is to consider only solution circles with non negative radius. The two roots of any quadratic equation may be of three possible types: two different real numbers, two identical real numbers (i. e., a degenerate double root), or a pair of complex conjugate roots. The first case corresponds to the usual situation; each pair of roots corresponds to a pair of solutions that are related by circle inversion, as described below (Figure 6). In the second case, both roots are identical, corresponding to a solution circle that transforms into itself under inversion. In this case, one of the given circles is itself a solution to the Apollonius problem, and the number of distinct solutions is reduced by one. The third case of complex conjugate radii does not correspond to a geometrically possible solution for Apollonius' problem, since a solution circle cannot have an imaginary radius; therefore, the number of solutions is reduced by two. Apollonius' problem cannot have seven solutions, although it may have any other number of solutions from zero to eight.

Оң жақтағы s1, s2 және s3 сандары, белгілер деп аталады, ±1-ге тең болуы мүмкін және қалаған шешім шеңберінің тиісті берілген шеңберге іштен (s = 1) немесе сырттан (s = −1) тиюін анықтайды. Мысалы, 1- және 4-суреттерде қызғылт түсті шешім оң жақтағы орташа өлшемді берілген шеңберге іштен жанасады және сол жақтағы ең кішкентай және ең үлкен берілген шеңберлерге сырттан жанасады; егер берілген шеңберлер радиусы бойынша реттелсе, бұл шешім үшін белгілер "− + −" болады. Үш белгі тәуелсіз түрде таңдала алатындықтан, сегіз теңдеу жиынтығы бар, әр жиынтық шешім шеңберінің сегіз түрінің біріне сәйкес келеді. Үш теңдеудің жалпы жүйесін нәтижелер әдісімен шешуге болады. Барлық үш теңдеудің сол жағында xs2 + ys2, ал оң жағында rs2 болады. Бір теңдеуді екіншісінен шығару арқылы бұл квадраттық мүшелер жойылады; қалған сызықтық мүшелерді xs және ys координаттары үшін формулалар алу үшін қайта реттеуге болады, мұнда M, N, P және Q берілген шеңберлер мен белгілер таңдауының белгілі функциялары болып табылады. Бұл формулаларды бастапқы үш теңдеудің біріне қою rs үшін квадрат теңдеуді береді, оны квадрат теңдеудің формуласымен шешуге болады. rs-тің сандық мәнін сызықтық формулаларға қою xs және ys-тің сәйкес мәндерін береді. Теңдеулердің оң жағындағы s1, s2 және s3 белгілерін сегіз түрлі тәсілмен таңдауға болады, және белгілердің әрбір таңдауы екі шешімге дейін береді, өйткені rs үшін теңдеу квадраттық. Бұл (бұрыс) Аполлоний мәселесінің он алтыға дейін шешімі бар деген ойға келтіруі мүмкін. Алайда, теңдеулердің симметриясына байланысты, егер (rs, xs, ys) si белгілерімен шешім болса, онда (−rs, xs, ys) −si белгілерімен де шешім болады, бұл бірдей шешім шеңберін көрсетеді. Сондықтан Аполлоний мәселесінің ең көп дегенде сегіз тәуелсіз шешімі бар (2-сурет). Бұл екі еселі санаудан қашудың бір жолы – тек теріс емес радиусы бар шешім шеңберлерін қарастыру. Кез келген квадрат теңдеудің екі түбірі үш түрлі болуы мүмкін: екі әртүрлі нақты сан, екі бірдей нақты сан (яғни, дегенеративті екі еселі түбір) немесе күрделі түйіндес түбірлер жұбы. Бірінші жағдай әдеттегі жағдайға сәйкес келеді; әрбір түбір жұбы шеңбер инверсиясымен байланысты шешімдер жұбына сәйкес келеді, төменде көрсетілгендей (6-сурет). Екінші жағдайда екі түбір де бірдей, бұл инверсияда өзіне айналатын шешім шеңберіне сәйкес келеді. Бұл жағдайда берілген шеңберлердің бірі Аполлоний мәселесінің шешімі болып табылады және ерекше шешімдердің саны бірге азаяды. Күрделі түйіндес радиустардың үшінші жағдайы Аполлоний мәселесі үшін геометриялық мүмкін шешімге сәйкес келмейді, өйткені шешім шеңберінің жорамал радиусы болмайды; сондықтан шешімдердің саны екіге азаяды. Аполлоний мәселесі жеті шешімге ие болмайды, бірақ ол нөлден сегізге дейінгі кез келген басқа шешімдерге ие болуы мүмкін.

Инверсия арқылы ерітінділер жұптары

Аполлоний проблемасының шешімдері көбінесе жұптар түрінде болады; әрбір шешім шеңбері үшін серіктес шешім шеңбері болады (6-сурет). Мысал ретінде, 6-суреттегі қызғылт сары шеңбер қара шеңберлерді тік бұрышпен қиып өтеді. Радикалдық шеңберге қатысты инверсия берілген шеңберлерді өзгеріссіз қалдырады, бірақ екі серіктес қызғылт шешім шеңберін бір-біріне айналдырады. Сол инверсияда екі шешім шеңберінің сәйкес тиісті нүктелері бір-біріне айналады; мысал ретінде, 6-суретте әр жасыл сызықта орналасқан екі көк нүкте бір-біріне айналады. Сондықтан, осы серіктес тиісті нүктелерді қосатын сызықтар инверсия кезінде өзгермейді; демек, олар инверсия орталығынан, яғни радикалдық орталықтан (6-суреттегі қызғылт сары нүктеде қиылысатын жасыл сызықтар) өтуі керек.

Сақинаға айналу

Егер берілген үш шеңбердің екеуі қиылыспаса, инверсия орталығын осылайша таңдауға болады, осылайша берілген екі шеңбер концентрлі болады. Бұл жағдайда Аполлоний мәселесі CCP шектес жағдайына тоғысады, яғни P нүктесінен өтетін және қалған екі берілген шеңберге жанасатын шешім шеңберін табу мәселесі. P орталығындағы шеңберге инверсия жасау екі берілген шеңберді жаңа шеңберлерге, ал шешім шеңберін түзуге айналдырады. Сондықтан, түрлендірілген шешім – берілген екі түрлендірілген шеңберге жанасатын түзу. Мұндай төрт шешім сызығы бар, оларды екі шеңбердің сыртқы және ішкі гомотетикалық орталықтары арқылы құрастыруға болады. P нүктесінде кері инверсия жасап, масштабтауды кері қайтару мұндай шешім сызығын бастапқы Аполлоний мәселесінің қажетті шешім шеңберіне айналдырады. Барлық сегіз жалпы шешімді әрбір шешімге тән ішкі және сыртқы жанасуларға сәйкес шеңберлерді кішірету және үлкейту арқылы алуға болады; алайда, әртүрлі шешімдер үшін берілген әртүрлі шеңберлер бір нүктеге дейін кішіретілуі мүмкін.

Екі берілген шеңбердің өлшемін тангенцияға өзгерту

Екінші тәсіл бойынша берілген шеңберлердің радиустары тиісті мөлшерде Δr шамасына өзгертіледі, соның нәтижесінде олардың екеуі жанасады (қолданады). Олардың жанасу нүктесі, екі нүктеде әрқайсысын қиып өтетін шеңберде инверсия центрі ретінде таңдалады. Инверсия кезінде жанасқан шеңберлер екі параллель түзуге айналады: олардың қиылысу нүктесі инверсия кезінде шексіздікке жіберіледі, сондықтан олар қабаттаса алмайды. Осы инверсия үшінші шеңберді басқа шеңберге түрлендіреді. Кері инверсияланған мәселенің шешімі мыналардың бірі болуы керек: 1) берілген екі параллель түзуге параллель және түрлендірілген үшінші шеңберге жанасатын түзу; немесе 2) берілген екі параллель түзуге және түрлендірілген шеңберге жанасатын тұрақты радиусы бар шеңбер. Барлық шеңберлердің радиустарын Δr шамасына кері инверсиялап, түзету, бастапқы үш шеңберге жанасатын шешім шеңберін шығарады.

Нүктелер, шеңберлер мен түзулердің он комбинациясы

Аполлонийдің мәселесі – жазықтықтағы үш берілген нысанға жанасатын бір немесе бірнеше шеңбер салу, бұл нысандар шеңберлер, нүктелер немесе түзулер болуы мүмкін. Бұл Аполлоний мәселесінің он түрін тудырады, олардың әрқайсысы шеңберлер, түзулер және нүктелердің әр комбинациясына сәйкес келеді және оларды үш әріппен белгілеуге болады: С, L немесе P, сәйкесінше берілген элементтің шеңбер, түзу немесе нүкте екенін көрсету үшін (1-кесте). Аполлоний мәселесінің осы он түрінің әрқайсысы үшін шешімдердің жалпы саны 1-кестеде келтірілген. Дегенмен, берілген элементтердің ерекше орналасуы шешімдердің санын өзгерте алады. Мысалы, егер бір шеңбер қалған екеуін бөліп тұрса, Аполлоний мәселесінің шешімі болмайды (11-сурет); берілген екі толық шеңберге де жанасу үшін, шешім шеңбері пунктирленген шеңберден өтуі керек; бірақ ол пунктирленген шеңберге жанасатын болса, мұны істей алмайды. Керісінше, егер үш берілген шеңбердің барлығы бір нүктеде жанасатын болса, онда сол нүктеде жанасатын кез келген шеңбер шешім болады; мұндай Аполлоний мәселелерінің шешімдері шексіз. Егер берілген шеңберлердің кез келгені бірдей болса, шешімдердің саны да шексіз болады. Егер тек екі берілген шеңбер бірдей болса, онда екі ғана ерекше берілген шеңбер болады; шешім шеңберлерінің орталықтары Аполлоний мәселесінің бір шешімінде қолданылғандай гипербола құрайды. Үш берілген шеңбердің, нүктелердің немесе түзулердің барлық мүмкін конфигурациялары үшін шешімдер санын толыққанды санауды алғаш рет 1896 жылы Мьюрхед жүргізді, бірақ бұрын Столл мен Студи осы мәселе бойынша жұмыс істеген. Алайда, Мьюрхедтің жұмысы толық болған жоқ; ол 1974 жылы толықтырылды және 33 ерекше жағдайды қамтитын толық санақ 1983 жылы жарияланды. Аполлоний мәселесінің шешімдері көбінесе инверсия арқылы байланысты жұптар түрінде табылады, бірақ кейбір жағдайларда, мысалы, PPP үшін бір шешім немесе берілген шеңберлердің бірі немесе үшеуі өзі шешім болғанда, жұп емес, тақ санда шешімдер болуы мүмкін. (Соңғысының мысалы Декарт теоремасы бөлімінде келтірілген.) Дегенмен, жеті шешімі бар Аполлоний мәселесі жоқ.

Apollonius problem is to construct one or more circles tangent to three given objects in a plane, which may be circles, points, or lines. This gives rise to ten types of Apollonius' problem, one corresponding to each combination of circles, lines and points, which may be labeled with three letters, either C, L, or P, to denote whether the given elements are a circle, line or point, respectively (Table 1). The general number of solutions for each of the ten types of Apollonius' problem is given in Table 1 above. However, special arrangements of the given elements may change the number of solutions. For illustration, Apollonius' problem has no solution if one circle separates the two (Figure 11); to touch both the solid given circles, the solution circle would have to cross the dashed given circle; but that it cannot do, if it is to touch the dashed circle tangentially. Conversely, if three given circles are all tangent at the same point, then any circle tangent at the same point is a solution; such Apollonius problems have an infinite number of solutions. If any of the given circles are identical, there is likewise an infinity of solutions. If only two given circles are identical, there are only two distinct given circles; the centers of the solution circles form a hyperbola, as used in one solution to Apollonius' problem. An exhaustive enumeration of the number of solutions for all possible configurations of three given circles, points or lines was first undertaken by Muirhead in 1896, although earlier work had been done by Stoll and Study. However, Muirhead's work was incomplete; it was extended in 1974 and a definitive enumeration, with 33 distinct cases, was published in 1983. Although solutions to Apollonius' problem generally occur in pairs related by inversion, an odd number of solutions is possible in some cases, e. g., the single solution for PPP, or when one or three of the given circles are themselves solutions. (An example of the latter is given in the section on Descartes' theorem.) However, there are no Apollonius problems with seven solutions.

Берілген өзара жанасатын шеңберлер: Содди шеңберлері және Декарт теоремасы

Егер берілген үш шеңбер бір-біріне жанасатын болса, Аполлоний мәселесінің бес шешімі бар. Үш шешім – берілген шеңберлердің өзі, себебі олардың әрқайсысы өзіне және қалған екі берілген шеңберге жанасады. Қалған екі шешім (12-суретте қызыл түспен көрсетілген) жазылған және сырттай орап тұрған шеңберлерге сәйкес келеді және Содди шеңберлері деп аталады. Аполлоний мәселесінің осы ерекше жағдайы «төрт тиын мәселесі» деп те аталады. Аполлоний мәселесіндегі берілген үш шеңбер екі Содди шеңберіне жанасатын Штайнер тізбегін құрайды. Содди шеңберінің кез келгені, берілген үш шеңбермен бірге алынғанда, алты нүктеде бір-біріне жанасатын төрт шеңбер жиынтығын құрайды. Бұл төрт шеңбердің радиусы Декарт теоремасы деп аталатын теңдеумен байланысты. 1643 жылы Богемияның Елизавета ханшайымына жазған хатында Рене Декарт ks = 1/rs және rs – шешім шеңберінің қисықтығы мен радиусы екенін, ал сондай-ақ k1, k2 және k3 – үш берілген шеңбердің қисықтықтары, ал r1, r2 және r3 – радиустары екенін көрсетті. Кез келген төрт бір-біріне жанасатын шеңбер жиыны үшін, бірдей алты нүктеде жанасатын төрт бір-біріне жанасатын шеңбердің екінші жиыны бар. Бұл мәселені 1842 жылы Филипп Бикрофт, ал 1936 жылы Фредерик Содди зерттеген. Содди өзінің зерттеулерін «Nature» ғылыми журналында «The Kiss Precise» атты өлең түрінде жариялады, оның алғашқы екі шумағы төменде келтірілген. Бірінші шумақта Содди шеңберлері сипатталған, ал екінші шумақта Декарт теоремасы берілген. Соддидің өлеңінде екі шеңбер жанасса, «сүйкімді» дейді, ал «қисықтық» термині шеңбердің k қисықтығын білдіреді. Декарт теоремасының түрлі кеңейтулерін Дэниел Педое жасаған.

Жалпылау

Аполлонийдің проблемасын үш берілген шеңберді дәл θ бұрышында немесе θ1, θ2 және θ3 үш белгіленген қиылысу бұрыштарында қиылысатын барлық шеңберлерді құру үшін кеңейтуге болады; Бұл сфералық проблема стереографиялық проекцияны қолдану арқылы сәйкес жазық проблемаға түрлендіріледі. Жазық проблеманың шешімдері құрылғаннан кейін, стереографиялық проекцияны кері қолдану арқылы сфералық проблеманың сәйкес шешімдерін анықтауға болады. Одан да жалпы алғанда, кез келген квадраттық бет және төрт жазықтықтың қиылысуынан туындайтын төрт жанама қисықтардың мәселесін қарастыруға болады, бұл мәселені алғаш рет Шарль Дюпен қарастырған. Бұл тығын фрактал болып табылады, өзіне ұқсас және d өлшемі дәл белгісіз, бірақ шамамен 1,3-ке тең, бұл тұрақты (немесе түзетілетін) қисықтан (d = 1) жоғары, бірақ жазықтықтан (d = 2) төмен. Аполлон тығынын алғаш рет Готфрид Лейбниц 17 ғасырда сипаттаған, және ол 20 ғасырдағы Серпинский үшбұрышының қисық алғы құрылысы болып табылады. Аполлон тығыны математиканың басқа салаларымен де тығыз байланысты; мысалы, ол Клейн тобының шекті жиынтығы болып табылады. Жазықтықта төрт шеңберге жанасатын шеңбердің конфигурациясы ерекше қасиеттерге ие, оларды Лармор (1891) және Лаклан (1893) анықтаған. Мұндай конфигурация Кейси теоремасының негізі болып табылады, және ғасырлар бойы көптеген балама шешім әдістері әзірленді. Аполлонийдің проблемасын тіпті d өлшемге дейін кеңейтуге болады, d + 1 гиперсфералардың берілген жиынтығына жанасатын гиперсфераларды құру үшін.

Қолданбалар

Исаак Ньютонның Аполлоний проблемасының негізгі қолданылуы – гиперболалық трилатерация, ол кем дегенде үш нүктеге дейінгі қашықтықтардың айырмашылығы бойынша позицияны анықтауға бағытталған. Мысалы, кеме үш синхронды хабар беру станцияларынан сигналдардың келу уақытының айырмашылығын пайдаланып өзінің орнын анықтауға тырысуы мүмкін. Аполлоний проблемасының шешімдері Бірінші дүниежүзілік соғыста артиллериялық қарудың орнын үш түрлі позицияда оқ атылған дыбысы естілген уақыт бойынша анықтау үшін қолданылды. Сол сияқты, ұшақтың орны оның транспондер сигналының төрт қабылдау станциясына келу уақытының айырмашылығы арқылы анықталуы мүмкін. Бұл көп өлшемді трилатерация мәселесі Аполлоний проблемасының үш өлшемді жалпылама түрімен тең және жаһандық спутниктік навигация жүйелерінде қолданылады (GPS#Геометриялық интерпретация қараңыз). Ол сонымен қатар, құстар мен киттер сияқты шақыратын жануарлардың орнын анықтау үшін де қолданылады, бірақ егер дыбыс жылдамдығы бағытқа қарай өзгерсе (яғни, тарату ортасы изотропты емес болса) Аполлоний проблемасы қолданылмайды. Аполлоний проблемасының тағы да басқа қолданыстары бар. Исаак Ньютон өзінің Principia еңбегінде, 1-кітаптың 21-теоремасында Аполлоний проблемасын шешуді аспан механикасында тартылыс орталығынан және орбитаға жанама сызықтарды байқаудан, олардың жылдамдығына сәйкес келуіне байланысты орбита құру үшін пайдаланды. Соңында, Аполлоний проблемасы DVD-де қолданылатын қателерді түзету кодтары және патогенді бактерияның белгілі бір ферментіне байланысатын фармацевтикалық препараттарды жобалау сияқты әртүрлі салаларда туындайтын кейбір жинақтау мәселелеріне де қолданылды.