Задача Аполлония о построении окружностей, касающихся трех данных окружностей

Введение

Построение окружностей, касающихся трех заданных окружностей на плоскости. В евклидовой геометрии задача Аполлония состоит в построении окружностей, касающихся трех заданных окружностей на плоскости (рисунок 1). Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н.э. – ок. 190 г. до н.э.) сформулировал и решил эту знаменитую задачу в своем труде Ἐπαφαί (Epaphaí, «Касания»); сам труд не сохранился, но отчет о его результатах, составленный Паппом Александрийским в IV веке н.э., дошел до нас. Обычно три заданные окружности имеют восемь различных окружностей, касающихся их (рисунок 2), по паре решений для каждого способа разделить три заданные окружности на два подмножества (существует 4 способа разделить множество из 3 элементов на 2 части). В XVI веке Адриан ван Румен решил эту задачу с помощью пересекающихся гипербол, однако это решение не использует только циркуль и линейку. Франсуа Виет нашел решение, используя предельные случаи: любую из трех заданных окружностей можно уменьшить до нулевого радиуса (точка) или расширить до бесконечного радиуса (прямая). Подход Виета, использующий более простые предельные случаи для решения более сложных, считается правдоподобной реконструкцией метода Аполлония. Метод ван Румена был упрощен Исааком Ньютоном, который показал, что задача Аполлония эквивалентна определению положения по разности расстояний до трех известных точек. Это находит применение в навигационных и позиционирующих системах, таких как LORAN. Позднее математики ввели алгебраические методы, преобразующие геометрическую задачу в алгебраические уравнения. Эти методы были упрощены за счет использования симметрий, присущих задаче Аполлония: например, окружности-решения обычно существуют парами, причем одно решение охватывает заданные окружности, а другое – исключает их (рисунок 2). Жозеф Диас Гергон использовал эту симметрию для получения элегантного решения с помощью циркуля и линейки, в то время как другие математики применяли геометрические преобразования, такие как отражение относительно окружности, для упрощения конфигурации заданных окружностей. Эти разработки обеспечивают геометрическую основу для алгебраических методов (с использованием геометрии сферы Ли) и классификацию решений по 33 по существу различным конфигурациям заданных окружностей. Задача Аполлония стимулировала дальнейшие исследования. Изучались обобщения на три измерения – построение сферы, касающейся четырех заданных сфер, и более общие случаи. Особое внимание уделяется конфигурации трех взаимно касающихся окружностей. Рене Декарт дал формулу, связывающую радиусы окружностей-решений и заданных окружностей, известную как теорема Декарта. Итеративное решение задачи Аполлония в этом случае приводит к аполлониевой прокладке, которая является одним из первых фракталов, описанных в печати, и играет важную роль в теории чисел через круги Форда и метод круга Харди — Литтлвуда.

Construct circles that are tangent to three given circles in a plane

In Euclidean plane geometry, Apollonius's problem is to construct circles that are tangent to three given circles in a plane (Figure 1). Apollonius of Perga (c. 262 BC – c. 190 BC) posed and solved this famous problem in his work Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"); this work has been lost, but a 4th century AD report of his results by Pappus of Alexandria has survived. Three given circles generically have eight different circles that are tangent to them (Figure 2), a pair of solutions for each way to divide the three given circles in two subsets (there are 4 ways to divide a set of cardinality 3 in 2 parts). In the 16th century, Adriaan van Roomen solved the problem using intersecting hyperbolas, but this solution does not use only straightedge and compass constructions. François Viète found such a solution by exploiting limiting cases: any of the three given circles can be shrunk to zero radius (a point) or expanded to infinite radius (a line). Viète's approach, which uses simpler limiting cases to solve more complicated ones, is considered a plausible reconstruction of Apollonius' method. The method of van Roomen was simplified by Isaac Newton, who showed that Apollonius' problem is equivalent to finding a position from the differences of its distances to three known points. This has applications in navigation and positioning systems such as LORAN. Later mathematicians introduced algebraic methods, which transform a geometric problem into algebraic equations. These methods were simplified by exploiting symmetries inherent in the problem of Apollonius: for instance solution circles generically occur in pairs, with one solution enclosing the given circles that the other excludes (Figure 2). Joseph Diaz Gergonne used this symmetry to provide an elegant straightedge and compass solution, while other mathematicians used geometrical transformations such as reflection in a circle to simplify the configuration of the given circles. These developments provide a geometrical setting for algebraic methods (using Lie sphere geometry) and a classification of solutions according to 33 essentially different configurations of the given circles. Apollonius' problem has stimulated much further work. Generalizations to three dimensions—constructing a sphere tangent to four given spheres—and beyond have been studied. The configuration of three mutually tangent circles has received particular attention. René Descartes gave a formula relating the radii of the solution circles and the given circles, now known as Descartes' theorem. Solving Apollonius' problem iteratively in this case leads to the Apollonian gasket, which is one of the earliest fractals to be described in print, and is important in number theory via Ford circles and the Hardy–Littlewood circle method.

Описание проблемы

Общее определение проблемы Аполлония состоит в построении одной или нескольких окружностей, касающихся трех заданных объектов на плоскости, где объект может быть линией, точкой или окружностью любого размера. Окружность-решение может быть внутренне или внешне касательной к каждой из заданных окружностей. Внешняя касательность – это ситуация, когда две окружности расходятся друг от друга в точке касания; они лежат по разные стороны от общей касательной в этой точке и исключают друг друга. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Напротив, внутренняя касательность – это ситуация, когда две окружности изгибаются одинаково в точке касания; обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной, и одна окружность заключает в себе другую. В этом случае расстояние между их центрами равно разности их радиусов. В качестве иллюстрации, на Рисунке 1 розовая окружность-решение внутренне касается средней черной окружности справа, а внешне касается наименьшей и наибольшей заданных окружностей слева. Проблему Аполлония также можно сформулировать как задачу нахождения одной или нескольких точек, для которых разности расстояний до трех заданных точек равны трем известным значениям. Рассмотрим окружность-решение радиуса rs и три заданные окружности радиусами r1, r2 и r3. Если окружность-решение внешне касается всех трех заданных окружностей, расстояния между центром окружности-решения и центрами заданных окружностей равны , и , соответственно. Следовательно, разности этих расстояний являются константами, например; они зависят только от известных радиусов заданных окружностей и не зависят от радиуса rs окружности-решения, который сокращается. Эта вторая формулировка проблемы Аполлония может быть обобщена на внутренне касательные окружности-решения (для которых расстояние между центрами равно разности радиусов), путем замены соответствующих разностей расстояний на суммы расстояний, так что радиус окружности-решения rs снова сокращается. Переформулировка в терминах расстояний между центрами полезна в решениях Адриаана ван Румена и Исаака Ньютона, а также в гиперболическом позиционировании или трилатерации, которая представляет собой задачу определения местоположения по разностям расстояний до трех известных точек. Например, навигационные системы, такие как LORAN, определяют положение приемника по разнице во времени прибытия сигналов с трех фиксированных позиций, что соответствует разнице в расстояниях до этих передатчиков. Эта задача была названа "самой знаменитой из всех" геометрических задач. Исходный подход Аполлония Пергского был утерян, но реконструкции были предложены Франсуа Виетом и другими, основываясь на намеках в описании Паппа Александрийского. Метод ван Румена был усовершенствован в 1687 году Исааком Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» (Principia), а в 1881 году Джоном Кейси. Хотя метод ван Румена успешно решает проблему Аполлония, он имеет недостаток. Ценным свойством в классической евклидовой геометрии является возможность решать задачи, используя только циркуль и линейку. Многие построения невозможны, используя только эти инструменты, например, деление угла на три равные части. Однако многие из таких "невозможных" задач могут быть решены путем пересечения кривых, таких как гиперболы, эллипсы и параболы (конические сечения). Например, удвоение куба (построение куба вдвое большего объема заданного куба) нельзя выполнить только с помощью линейки и циркуля, но Менахмус показал, что задачу можно решить, используя пересечения двух парабол. Следовательно, решение ван Румена, использующее пересечение двух гипербол, не определяло, удовлетворяет ли задача условиям построения только циркулем и линейкой. Друг ван Румена, Франсуа Виет, который первоначально побудил ван Румена заняться проблемой Аполлония, разработал метод, использующий только циркуль и линейку. До решения Виета Региомонтан сомневался, можно ли решить проблему Аполлония с помощью циркуля и линейки. Виет сначала решил некоторые простые частные случаи проблемы Аполлония, такие как нахождение окружности, проходящей через три заданные точки (которая имеет единственное решение, если точки различны); затем он перешел к решению более сложных частных случаев, в некоторых случаях уменьшая или увеличивая заданные окружности. В XIX веке было разработано несколько других геометрических решений проблемы Аполлония. Наиболее известными являются решения Жана Виктора Понселе (1811) и Жозефа Диаса Гергонна (1814). В то время как доказательство Понселе опирается на гомотетические центры окружностей и теорему о степени точки, метод Гергонна использует сопряженное отношение между прямыми и их полюсами в окружности. Методы, использующие инверсию окружности, были разработаны Юлиусом Петерсеном в 1879 году; одним из примеров является аннулярный метод решения, предложенный Г.С.М. Коксетером. Другой подход использует геометрию сфер Ли, разработанный Николасом Фуссом, Лазарем Карно и Огюстеном Луи Коши.

The general statement of Apollonius' problem is to construct one or more circles that are tangent to three given objects in a plane, where an object may be a line, a point or a circle of any size. The solution circle may be either internally or externally tangent to each of the given circles. An external tangency is one where the two circles bend away from each other at their point of contact; they lie on opposite sides of the tangent line at that point, and they exclude one another. The distance between their centers equals the sum of their radii. By contrast, an internal tangency is one in which the two circles curve in the same way at their point of contact; the two circles lie on the same side of the tangent line, and one circle encloses the other. In this case, the distance between their centers equals the difference of their radii. As an illustration, in Figure 1, the pink solution circle is internally tangent to the medium sized given black circle on the right, whereas it is externally tangent to the smallest and largest given circles on the left. Apollonius' problem can also be formulated as the problem of locating one or more points such that the differences of its distances to three given points equal three known values. Consider a solution circle of radius rs and three given circles of radii r1, r2 and r3. If the solution circle is externally tangent to all three given circles, the distances between the center of the solution circle and the centers of the given circles equal , and , respectively. Therefore, differences in these distances are constants, such as ; they depend only on the known radii of the given circles and not on the radius rs of the solution circle, which cancels out. This second formulation of Apollonius' problem can be generalized to internally tangent solution circles (for which the center center distance equals the difference of radii), by changing the corresponding differences of distances to sums of distances, so that the solution circle radius rs again cancels out. The re formulation in terms of center center distances is useful in the solutions below of Adriaan van Roomen and Isaac Newton, and also in hyperbolic positioning or trilateration, which is the task of locating a position from differences in distances to three known points. For example, navigation systems such as LORAN identify a receiver's position from the differences in arrival times of signals from three fixed positions, which correspond to the differences in distances to those transmitters. which has been called "the most famous of all" geometry problems. The original approach of Apollonius of Perga has been lost, but reconstructions have been offered by François Viète and others, based on the clues in the description by Pappus of Alexandria. Van Roomen's method was refined in 1687 by Isaac Newton in his Principia, and by John Casey in 1881. Although successful in solving Apollonius' problem, van Roomen's method has a drawback. A prized property in classical Euclidean geometry is the ability to solve problems using only a compass and a straightedge. Many constructions are impossible using only these tools, such as dividing an angle in three equal parts. However, many such "impossible" problems can be solved by intersecting curves such as hyperbolas, ellipses and parabolas (conic sections). For example, doubling the cube (the problem of constructing a cube of twice the volume of a given cube) cannot be done using only a straightedge and compass, but Menaechmus showed that the problem can be solved by using the intersections of two parabolas. Therefore, van Roomen's solution—which uses the intersection of two hyperbolas—did not determine if the problem satisfied the straightedge and compass property. Van Roomen's friend François Viète, who had urged van Roomen to work on Apollonius' problem in the first place, developed a method that used only compass and straightedge. Prior to Viète's solution, Regiomontanus doubted whether Apollonius' problem could be solved by straightedge and compass. Viète first solved some simple special cases of Apollonius' problem, such as finding a circle that passes through three given points which has only one solution if the points are distinct; he then built up to solving more complicated special cases, in some cases by shrinking or swelling the given circles. Several other geometrical solutions to Apollonius' problem were developed in the 19th century. The most notable solutions are those of Jean Victor Poncelet (1811) and of Joseph Diaz Gergonne (1814). Whereas Poncelet's proof relies on homothetic centers of circles and the power of a point theorem, Gergonne's method exploits the conjugate relation between lines and their poles in a circle. Methods using circle inversion were pioneered by Julius Petersen in 1879; one example is the annular solution method of HSM Coxeter. Another approach uses Lie sphere geometry, Nicolas Fuss, Lazare Carnot, and Augustin Louis Cauchy.

Пересекающиеся гиперболы

Решение Адриаана ван Румена (1596) основано на пересечении двух гипербол. Поскольку три заданных окружности и любая окружность-решение должны лежать в одной плоскости, их положения могут быть заданы координатами (x, y) их центров. Например, положения центров трех заданных окружностей могут быть записаны как (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), а положение окружности-решения – как (xs, ys). Аналогично, радиусы заданных окружностей и окружности-решения могут быть записаны как r1, r2, r3 и rs соответственно. Требование, чтобы окружность-решение точно касалась каждой из трех заданных окружностей, может быть выражено тремя связанными квадратными уравнениями относительно xs, ys и rs:

Три числа s1, s2 и s3 в правой части, называемые знаками, могут принимать значения ±1 и определяют, должна ли искомая окружность-решение касаться соответствующей заданной окружности внутренне (s = 1) или внешне (s = −1). Например, на рисунках 1 и 4 розовое решение внутренне касается средней заданной окружности справа и внешне касается самой маленькой и самой большой заданной окружностей слева; если заданные окружности упорядочены по радиусу, знаки для этого решения будут "− + −". Поскольку три знака могут быть выбраны независимо, существует восемь возможных наборов уравнений, каждый из которых соответствует одному из восьми типов окружностей-решений. Общую систему из трех уравнений можно решить методом результирующих функций. При приведении всех трех уравнений к общему виду, в левой части получается xs2 + ys2, а в правой – rs2. Вычитая одно уравнение из другого, можно исключить эти квадратичные члены; оставшиеся линейные члены можно перегруппировать для получения формул для координат xs и ys:

где M, N, P и Q – известные функции заданных окружностей и выбранных знаков. Подстановка этих формул в одно из исходных трех уравнений дает квадратное уравнение относительно rs, которое можно решить с помощью квадратной формулы. Подстановка найденного значения rs в линейные формулы дает соответствующие значения xs и ys. Знаки s1, s2 и s3 в правой части уравнений могут быть выбраны восемью различными способами, и каждый выбор знаков дает до двух решений, поскольку уравнение для rs является квадратным. Это может навести на мысль (ошибочно), что существует до шестнадцати решений задачи Аполлония. Однако, благодаря симметрии уравнений, если (rs, xs, ys) является решением с знаками si, то и (−rs, xs, ys) с противоположными знаками −si также является решением, представляющим ту же окружность-решение. Следовательно, задача Аполлония имеет не более восьми независимых решений (рисунок 2). Один из способов избежать этого двойного счета – рассматривать только окружности-решения с неотрицательным радиусом. Два корня любого квадратного уравнения могут быть одного из трех типов: два различных действительных числа, два одинаковых действительных числа (т. е. вырожденный двойной корень) или пара комплексно сопряженных корней. Первый случай соответствует обычной ситуации; каждая пара корней соответствует паре решений, связанных инверсией окружности, как описано ниже (рисунок 6). Во втором случае оба корня совпадают, что соответствует окружности-решению, которая переходит в себя при инверсии. В этом случае одна из заданных окружностей сама является решением задачи Аполлония, и число различных решений уменьшается на единицу. Третий случай, когда радиусы комплексно сопряжены, не соответствует геометрически возможному решению задачи Аполлония, поскольку окружность-решение не может иметь мнимый радиус; следовательно, число решений уменьшается на два. Задача Аполлония не может иметь семь решений, хотя она может иметь любое другое количество решений от нуля до восьми.

where M, N, P and Q are known functions of the given circles and the choice of signs. Substitution of these formulae into one of the initial three equations gives a quadratic equation for rs, which can be solved by the quadratic formula. Substitution of the numerical value of rs into the linear formulae yields the corresponding values of xs and ys. The signs s1, s2 and s3 on the right hand sides of the equations may be chosen in eight possible ways, and each choice of signs gives up to two solutions, since the equation for rs is quadratic. This might suggest (incorrectly) that there are up to sixteen solutions of Apollonius' problem. However, due to a symmetry of the equations, if (rs, xs, ys) is a solution, with signs si, then so is (−rs, xs, ys), with opposite signs −si, which represents the same solution circle. Therefore, Apollonius' problem has at most eight independent solutions (Figure 2). One way to avoid this double counting is to consider only solution circles with non negative radius. The two roots of any quadratic equation may be of three possible types: two different real numbers, two identical real numbers (i. e., a degenerate double root), or a pair of complex conjugate roots. The first case corresponds to the usual situation; each pair of roots corresponds to a pair of solutions that are related by circle inversion, as described below (Figure 6). In the second case, both roots are identical, corresponding to a solution circle that transforms into itself under inversion. In this case, one of the given circles is itself a solution to the Apollonius problem, and the number of distinct solutions is reduced by one. The third case of complex conjugate radii does not correspond to a geometrically possible solution for Apollonius' problem, since a solution circle cannot have an imaginary radius; therefore, the number of solutions is reduced by two. Apollonius' problem cannot have seven solutions, although it may have any other number of solutions from zero to eight.

Пара растворов по инверсии

Решения задачи Аполлония обычно возникают парами: для каждого круга решения существует сопряжённый круг решения (рис. 6). Для иллюстрации, оранжевый круг на рисунке 6 пересекает чёрные заданные окружности под прямым углом. Инверсия относительно радикальной окружности оставляет заданные окружности неизменными, но преобразует два сопряжённых розовых круга решения друг в друга. При той же инверсии соответствующие точки касания двух кругов решения преобразуются друг в друга; для иллюстрации, на рисунке 6 две синие точки, лежащие на каждой зелёной линии, преобразуются друг в друга. Следовательно, линии, соединяющие эти сопряжённые точки касания, инвариантны относительно инверсии; поэтому они должны проходить через центр инверсии, который является радикальным центром (зелёные линии, пересекающиеся в оранжевой точке на рисунке 6).

Инверсия в кольцевой

Если два из трех заданных кругов не пересекаются, можно выбрать центр инверсии таким образом, чтобы эти два заданных круга стали концентрическими. В этом случае задача Аполлония вырождается до предельного случая CCP, который сводится к задаче нахождения круга, касающегося двух оставшихся заданных кругов и проходящего через точку P. Инверсия относительно круга с центром в точке P преобразует два заданных круга в новые круги, а искомый круг – в прямую. Следовательно, преобразованным решением является прямая, касающаяся двух преобразованных заданных кругов. Существует четыре таких решения-прямые, которые можно построить, используя внешние и внутренние центры гомотетии двух кругов. Обратная инверсия относительно точки P и отмена масштабирования преобразуют такую линию решения в искомый круг решения исходной задачи Аполлония. Все восемь общих решений можно получить, изменяя размеры кругов в соответствии с различными типами касания (внутренним и внешним) каждого решения; однако, для разных решений разные заданные круги могут быть сжаты до точки.

Изменение размера двух данных кругов до тангентности

Во втором подходе радиусы заданных окружностей соответствующим образом изменяются на величину Δr, так что две из них становятся касательными. Их точка касания выбирается в качестве центра инверсии относительно окружности, пересекающей каждую из двух касающихся окружностей в двух точках. При инверсии касающиеся окружности превращаются в две параллельные прямые: их единственная точка пересечения уходит в бесконечность при инверсии, поэтому они не могут пересечься. Та же инверсия преобразует третью окружность в другую окружность. Решение инвертированной задачи должно быть либо (1) прямой, параллельной двум данным параллельным прямым и касающейся преобразованной третьей окружности; либо (2) окружностью постоянного радиуса, касающейся двух данных параллельных прямых и преобразованной окружности. Обратная инверсия и корректировка радиусов всех окружностей на Δr дают решение в виде окружности, касающейся исходных трех окружностей.

Десять комбинаций точек, кругов и линий

Проблема Аполлония заключается в построении одной или нескольких окружностей, касающихся трех заданных объектов на плоскости, которые могут быть окружностями, точками или прямыми. Это приводит к десяти типам задачи Аполлония, каждый из которых соответствует определенной комбинации окружностей, прямых и точек, обозначаемой тремя буквами – C, L или P – в зависимости от того, является ли данный элемент окружностью, прямой или точкой соответственно (таблица 1). Общее число решений для каждого из десяти типов задачи Аполлония приведено в таблице 1 выше. Однако, особые взаимные расположения заданных элементов могут изменить число решений. Например, задача Аполлония не имеет решения, если одна окружность разделяет две другие (рисунок 11); чтобы коснуться обеих сплошных заданных окружностей, искомая окружность должна была бы пересечь пунктирную окружность; но это невозможно, если она должна касаться пунктирной окружности тангенциально. И наоборот, если три заданные окружности все касаются в одной точке, то любая окружность, касающаяся в этой точке, является решением; такие задачи Аполлония имеют бесконечное число решений. Если какие-либо из заданных окружностей совпадают, то также существует бесконечное число решений. Если совпадают только две заданные окружности, то фактически имеются только две различные заданные окружности; центры искомых окружностей образуют гиперболу, что используется в одном из решений задачи Аполлония. Исчерпывающее перечисление числа решений для всех возможных конфигураций трех заданных окружностей, точек или прямых впервые было предпринято Мьюрхедом в 1896 году, хотя более ранние работы были выполнены Столлом и Стади. Однако работа Мьюрхеда была неполной; она была расширена в 1974 году, а окончательное перечисление, включающее 33 различных случая, было опубликовано в 1983 году. Хотя решения задачи Аполлония обычно возникают парами, связанными инверсией, в некоторых случаях возможно нечетное число решений, например, единственное решение для PPP, или когда одна или три из заданных окружностей сами являются решениями. (Пример последнего приведен в разделе, посвященном теореме Декарта.) Однако, не существует задач Аполлония с семью решениями.

Apollonius problem is to construct one or more circles tangent to three given objects in a plane, which may be circles, points, or lines. This gives rise to ten types of Apollonius' problem, one corresponding to each combination of circles, lines and points, which may be labeled with three letters, either C, L, or P, to denote whether the given elements are a circle, line or point, respectively (Table 1). The general number of solutions for each of the ten types of Apollonius' problem is given in Table 1 above. However, special arrangements of the given elements may change the number of solutions. For illustration, Apollonius' problem has no solution if one circle separates the two (Figure 11); to touch both the solid given circles, the solution circle would have to cross the dashed given circle; but that it cannot do, if it is to touch the dashed circle tangentially. Conversely, if three given circles are all tangent at the same point, then any circle tangent at the same point is a solution; such Apollonius problems have an infinite number of solutions. If any of the given circles are identical, there is likewise an infinity of solutions. If only two given circles are identical, there are only two distinct given circles; the centers of the solution circles form a hyperbola, as used in one solution to Apollonius' problem. An exhaustive enumeration of the number of solutions for all possible configurations of three given circles, points or lines was first undertaken by Muirhead in 1896, although earlier work had been done by Stoll and Study. However, Muirhead's work was incomplete; it was extended in 1974 and a definitive enumeration, with 33 distinct cases, was published in 1983. Although solutions to Apollonius' problem generally occur in pairs related by inversion, an odd number of solutions is possible in some cases, e. g., the single solution for PPP, or when one or three of the given circles are themselves solutions. (An example of the latter is given in the section on Descartes' theorem.) However, there are no Apollonius problems with seven solutions.

Взаимно касающиеся данные круги: круги Содди и теорема Декарта

Если три заданных окружности взаимно касаются друг друга, проблема Аполлония имеет пять решений. Три решения – это сами заданные окружности, поскольку каждая из них касается самой себя и двух других заданных окружностей. Остальные два решения (показаны красным на рисунке 12) соответствуют вписанной и описанной окружностям и называются окружностями Содди. Этот особый случай проблемы Аполлония также известен как задача о четырёх монетах. Три заданные окружности этой задачи Аполлония образуют цепь Штайнера, касающуюся двух окружностей Содди. Любая окружность Содди, взятая вместе с тремя заданными окружностями, образует набор из четырёх окружностей, которые взаимно касаются друг друга в шести точках. Радиусы этих четырёх окружностей связаны уравнением, известным как теорема Декарта. В письме к принцессе Елизавете Богемской в 1643 году Рене Декарт показал, что

где ks = 1/rs, а rs – это кривизна и радиус окружности-решения соответственно, и аналогично для кривизн k1, k2 и k3 и радиусов r1, r2 и r3 трёх заданных окружностей. Для каждого набора из четырёх взаимно касающихся окружностей существует второй набор из четырёх взаимно касающихся окружностей, касающихся тех же шести точек. Это было обнаружено в 1842 году Филипом Бикрофтом и вновь в 1936 году Фредериком Содди. Содди опубликовал свои результаты в научном журнале Nature в виде стихотворения «The Kiss Precise», первые две строфы которого приведены ниже. Первая строфа описывает окружности Содди, а вторая строфа представляет теорему Декарта. В стихотворении Содди две окружности «целуются», если они касаются друг друга, в то время как термин «изгибается» относится к кривизне k окружности. Различные обобщения теоремы Декарта были получены Дэниелом Педо.

Обобщения

Проблема Аполлония может быть расширена для построения всех окружностей, пересекающих три заданные окружности под точным углом θ, или под тремя заданными углами пересечения θ1, θ2 и θ3. Эту сферическую задачу можно свести к соответствующей плоской задаче, используя стереографическую проекцию. После построения решений плоской задачи, соответствующие решения сферической задачи можно определить, инвертируя стереографическую проекцию. В еще более общем случае можно рассмотреть задачу о четырех касательных кривых, возникающих при пересечении произвольной квадратичной поверхности и четырех плоскостей – задачу, впервые исследованную Шарлем Дюпином. Эта конструкция является фракталом, обладая самоподобием и имея размерность d, которая точно не известна, но приблизительно равна 1,3, что больше, чем у обычной (или выпрямляемой) кривой (d = 1), но меньше, чем у плоскости (d = 2). Аполлонова конструкция была впервые описана Готфридом Лейбницем в XVII веке и является криволинейным предшественником треугольника Серпинского в XX веке. Аполлонова конструкция также имеет глубокие связи с другими областями математики; например, она является предельным множеством групп Клейна. Конфигурация окружности, касающейся четырех окружностей на плоскости, обладает особыми свойствами, которые были уточнены Лармором (1891) и Лакланом (1893). Такая конфигурация также является основой для теоремы Кейси, и на протяжении веков было разработано множество альтернативных методов решения. Проблему Аполлония можно даже обобщить на d измерений для построения гиперсфер, касающихся заданного набора из d + 1 гиперсфер.

Приложения

Основным применением задачи Аполлония, сформулированной Исааком Ньютоном, является гиперболическая трилатерация, которая позволяет определить местоположение по разности расстояний до как минимум трех точек. Например, корабль может определить свое местоположение по разнице во времени прибытия сигналов от трех синхронизированных передатчиков. Решения задачи Аполлония использовались в Первой мировой войне для определения местоположения артиллерийского орудия по времени, когда выстрел был слышен в трех различных точках. Аналогично, местоположение самолета можно определить по разнице во времени прибытия сигнала его транспондера на четыре приемные станции. Эта задача многосторонней локации эквивалентна трехмерному обобщению задачи Аполлония и применяется к глобальным навигационным спутниковым системам (см. GPS#Геометрическая интерпретация). Она также используется для определения местоположения издающих звуки животных (таких как птицы и киты), однако задача Аполлония неприменима, если скорость звука меняется в зависимости от направления (то есть, если среда передачи не изотропна). Задача Аполлония имеет и другие применения. В Книге 1, Предложении 21 своих «Математических начал натуральной философии» Исаак Ньютон использовал свое решение задачи Аполлония для построения орбиты в небесной механике, исходя из центра притяжения и наблюдений касательных к орбите, соответствующих мгновенной скорости. Наконец, задача Аполлония была применена к некоторым типам задач упаковки, возникающим в различных областях, таких как коды коррекции ошибок, используемые на DVD, и разработка фармацевтических препаратов, связывающихся с определенным ферментом патогенной бактерии.