Кіріспе
1=y² – a²x³ = 0 формасындағы алгебралық жазықтық қисық, математикада, купидальді кубикалық немесе жартылай кубикалық парабола деп аталады – бұл кейбір Картезиандық координаттар жүйесінде (a ≠ 0) формасындағы имплицитті теңдеуі бар алгебралық жазықтық қисық. y-ді шешу, әр нақты нүкте x ≥ 0 шартын қанағаттандыратын түріне әкеледі. Экспонента жартылай кубикалық парабола аталымын түсіндіреді. (Парабола мына теңдеумен сипатталады.) x үшін имплицитті теңдеуді шешу екінші эксплицитті түрді береді.
In mathematics, a cuspidal cubic or semicubical parabola is an algebraic plane curve that has an implicit equation of the form
(with a ≠ 0) in some Cartesian coordinate system. Solving for y leads to the explicit form
which imply that every real point satisfies x ≥ 0. The exponent explains the term semicubical parabola. (A parabola can be described by the equation .) Solving the implicit equation for x yields a second explicit form
The parametric equation
can also be deduced from the implicit equation by putting
The semicubical parabolas have a cuspidal singularity; hence the name of cuspidal cubic. The arc length of the curve was calculated by the English mathematician William Neile and published in 1657 (see section History).
Параметрлік теңдеуді де имплицитті теңдеуден, t = x деп қою арқылы алуға болады. Жартылай кубикалық параболалар купидтік сингулярлыққа ие; сондықтан оны купидальді кубикалық деп атайды. Бұл қисықтың доға ұзындығын ағылшын математигі Уильям Нил есептеп, 1657 жылы жариялаған (тарих бөліміне қараңыз).
In mathematics, a cuspidal cubic or semicubical parabola is an algebraic plane curve that has an implicit equation of the form
(with a ≠ 0) in some Cartesian coordinate system. Solving for y leads to the explicit form
which imply that every real point satisfies x ≥ 0. The exponent explains the term semicubical parabola. (A parabola can be described by the equation .) Solving the implicit equation for x yields a second explicit form
The parametric equation
can also be deduced from the implicit equation by putting
The semicubical parabolas have a cuspidal singularity; hence the name of cuspidal cubic. The arc length of the curve was calculated by the English mathematician William Neile and published in 1657 (see section History).
Ұқсастық
Кез келген жартылай кубикалық парабола жартылай кубикалық бірлік параболасына ұқсас. Дәлел: Ұқсастық (біркелкі масштабталу) жартылай кубикалық параболаны криваясына жібереді, онда .
Proof: The similarity (uniform scaling) maps the semicubical parabola onto the curve with .
Бірегейлік
Параметрлік бейнелеу нүктесінен басқа тұрақты. Нүктесінде қисыққа сингулярлық (айырбас) тән. Дәлел жанама вектордан шығады. Тек осы вектордың ғана ұзындығы нөлге тең.
Полярлық координаттар
Полярлық координаттарда жартылай кубикалық параболаның суретін алу үшін, түзудің қисықпен қиылысу нүктесін анықтаймыз. үшін, бастапқы нүктеден басқа бір нүкте бар: Бұл нүкте бастапқы нүктеден қашықтықта орналасқан. және (тригонометриялық теңдеулер тізіміне қараңыз) қолдансақ, келесідей нәтижеге жетеміз.
Изохронды қисық
Жартылай кубикалық параболаның тағы бір ерекше қасиеті – ол изохронды қисық болып табылады, яғни гравитация күшімен төмен тартылатын дене оның бойымен қозғалғанда, тең уақыт кезеңдерінде тең вертикаль аралықтарды өтеді. Осыған байланысты, ол таутохрон қисығымен де байланысты, онда әртүрлі бастапқы нүктелерден бастаған денелердің бәрі түбіне жету үшін бірдей уақыт жұмсайды, сондай-ақ брахистохрон қисығымен де байланысты, ол құлайтын дененің бастапқы нүктеден соңғы нүктеге дейінгі қозғалыс уақытын ең аз етіп төмендетеді.
Тарих
Жарты кубикалық парабола 1657 жылы Уильям Нилдің доға ұзындығын есептеуімен ашылды. Логарифмдік спираль және циклоид сияқты басқа да алгебралық емес қисықтардың ұзындығы бұрыннан есептелгенімен (яғни, түзетілгенімен), жарты кубикалық парабола сызық пен шеңберден басқа алғашқы алгебралық қисық болды, оның ұзындығы анықталды.