Введение

1=Алгебраическая плоская кривая вида y² – a²x³ = 0

В математике купидальная кубическая, или полукубическая парабола, — это алгебраическая плоская кривая, имеющая неявное уравнение вида

(при a ≠ 0) в некоторой декартовой системе координат. Решение относительно y приводит к явному виду

из чего следует, что каждая действительная точка удовлетворяет условию x ≥ 0. Показатель степени объясняет термин "полукубическая парабола". (Параболу можно описать уравнением .) Решение неявного уравнения относительно x дает вторую явную форму

Параметрическое уравнение

также может быть выведено из неявного уравнения, положив

Полукубические параболы имеют куспидальную сингулярность, отсюда и название "купидальная кубическая". Длина дуги этой кривой была вычислена английским математиком Уильямом Нилом и опубликована в 1657 году (см. раздел "История").

Сходство

Любая полукубическая парабола подобна полукубической единичной параболе.
Доказательство: Подобие (однородное масштабирование) отображает полукубическую параболу на кривую с .

Сингулярность

Параметрическое представление регулярно, за исключением точки A. В точке A кривая имеет сингулярность (острый угол). Доказательство следует из вектора касательной. Только для этого вектора длина равна нулю.

Полярные координаты

Для того, чтобы получить представление полукубической параболы в полярных координатах, определяется точка пересечения прямой с кривой. При этом существует одна точка, отличная от начала координат: эта точка находится на расстоянии от начала координат. Используя и (см. Список тождеств), получаем

Изохронная кривая

Дополнительным определяющим свойством полукубической параболы является то, что она представляет собой изохронную кривую, то есть частица, движущаяся по её траектории под действием силы тяжести, проходит равные вертикальные отрезки за равные промежутки времени. Таким образом, она связана с таутохронной кривой, для которой частицы, стартующие из разных точек, всегда достигают нижней точки за одинаковое время, и с брахистохронной кривой – кривой, минимизирующей время, за которое падающая частица перемещается от начальной до конечной точки.

История

Полукубическая парабола была открыта в 1657 году Уильямом Нилом, который вычислил длину её дуги. Хотя длины некоторых других неалгебраических кривых, таких как логарифмическая спираль и циклоида, уже были вычислены (то есть, эти кривые были определены с помощью длины дуги), полукубическая парабола стала первой алгебраической кривой (за исключением прямой и окружности), для которой это было сделано.