Кіріспе
Топологиялық кванттық физикалық әсерлердің нәтижесінде дискретті мәндерді қабылдайтын физикалық шамалар. Физикада топологиялық кванттық сан (топологиялық заряд деп те аталады) – физикалық теорияда топологиялық ескертулердің дискретті жиынтығынан тек бір ғана мәнді қабылдайтын кез келген шама. Топологиялық кванттық сандар көбінесе физикалық жүйені модельдейтін дифференциалдық теңдеулер жиынтығының топологиялық ақауларымен немесе солитон тәрізді шешімдерімен байланысты топологиялық инварианттар болып табылады, себебі солитондардың өзінің тұрақтылығы топологиялық ескертулерге байланысты. Нақты "топологиялық ескертулер" әдетте проблеманың сипаттамасындағы негізгі топтың немесе жоғары өлшемді гомотопиялық топтың пайда болуына байланысты, себебі шекаралық шарттар белгіленген шекарада тривиальді емес гомотопиялық топқа ие, ол дифференциалдық теңдеулермен сақталады. Шешімнің топологиялық кванттық саны кейде шешімнің оралу саны деп аталады, немесе дәлірек айтқанда, бұл үздіксіз бейнелеудің дәрежесі. Фазалық өтулердің мәні туралы жаңа идеялар топологиялық кванттық сандар мен олармен байланысты шешімдер фазалық өту кезінде пайда болуы немесе жойылуы мүмкін екенін көрсетеді.
In physics, a topological quantum number (also called topological charge) is any quantity, in a physical theory, that takes on only one of a discrete set of values, due to topological considerations. Most commonly, topological quantum numbers are topological invariants associated with topological defects or soliton type solutions of some set of differential equations modeling a physical system, as the solitons themselves owe their stability to topological considerations. The specific "topological considerations" are usually due to the appearance of the fundamental group or a higher dimensional homotopy group in the description of the problem, quite often because the boundary, on which the boundary conditions are specified, has a non trivial homotopy group that is preserved by the differential equations. The topological quantum number of a solution is sometimes called the winding number of the solution, or, more precisely, it is the degree of a continuous mapping. Recent ideas about the nature of phase transitions indicate that topological quantum numbers, and their associated solutions, can be created or destroyed during a phase transition.
Дәл шешілетін модельдер
Қосымша мысалдарды дәл шешілетін модельдер саласында табуға болады, мысалы, синус-Гордон теңдеуі, Кортевег-де Врис теңдеуі және Ишимори теңдеуі. Бір өлшемді синус-Гордон теңдеуі ерекше қарапайым мысал болып табылады, себебі ондағы негізгі топ –
және ол шынымен оралу саны: шеңберді шеңбердің айналасына бүтін сан рет орауға болады. Кванттық синус-Гордон моделі массивті Тиринг моделімен эквивалентті. Негізгі қоздырғыштар фермиондар болып табылады: топологиялық кванттық сан – фермиондар саны. Синус-Гордон моделін кванттағаннан кейін топологиялық заряд «бөлшек» болады. Көк сәулелі ренормализацияны дұрыс қарастыру фермиондардың бөлшек саны көк сәулелі кесуден асып түсетінін көрсетеді. Сондықтан, ол Планк тұрақтысына байланысты бөлшек санмен көбейтіледі.
Қатты күй физикасы
Қатты дене физикасында, бұрандалы дислокациялар сияқты кристалдық дислокациялардың белгілі бір түрлері топологиялық солитондармен сипатталуы мүмкін. Мысал ретінде германий шаштарымен байланысты бұрандалы дислокацияларды келтіруге болады.