Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Физические величины, принимающие дискретные значения вследствие топологических квантовых эффектов.
Physical quantities that take discrete values because of topological quantum physical effects
В физике топологическое квантовое число (также называемое топологическим зарядом) — это любое количество в физической теории, которое принимает только одно значение из дискретного набора, обусловленное топологическими соображениями. Чаще всего топологические квантовые числа являются топологическими инвариантами, связанными с топологическими дефектами или солитонными решениями некоторых систем дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему, поскольку стабильность самих солитонов обусловлена топологическими соображениями. Конкретные "топологические соображения" обычно связаны с появлением фундаментальной группы или группы гомотопии более высокой размерности в описании задачи, часто потому, что граница, на которой заданы граничные условия, имеет нетривиальную группу гомотопии, сохраняемую дифференциальными уравнениями. Топологическое квантовое число решения иногда называют числом обмотки решения, или, точнее, степенью непрерывного отображения. Современные представления о природе фазовых переходов указывают на то, что топологические квантовые числа и соответствующие им решения могут создаваться или уничтожаться в процессе фазового перехода.
In physics, a topological quantum number (also called topological charge) is any quantity, in a physical theory, that takes on only one of a discrete set of values, due to topological considerations. Most commonly, topological quantum numbers are topological invariants associated with topological defects or soliton type solutions of some set of differential equations modeling a physical system, as the solitons themselves owe their stability to topological considerations. The specific "topological considerations" are usually due to the appearance of the fundamental group or a higher dimensional homotopy group in the description of the problem, quite often because the boundary, on which the boundary conditions are specified, has a non trivial homotopy group that is preserved by the differential equations. The topological quantum number of a solution is sometimes called the winding number of the solution, or, more precisely, it is the degree of a continuous mapping. Recent ideas about the nature of phase transitions indicate that topological quantum numbers, and their associated solutions, can be created or destroyed during a phase transition.
Точно разрешимые модели
Дополнительные примеры можно найти в области точно решаемых моделей, таких как уравнение синуса-Гордона, уравнение Кортевега — де Вриса и уравнение Ишимори. Одномерное уравнение синуса-Гордона представляет собой особенно простой пример, поскольку действующая там фундаментальная группа равна
Additional examples can be found in the domain of exactly solvable models, such as the sine Gordon equation, the Korteweg–de Vries equation, and the Ishimori equation. The one dimensional sine Gordon equation makes for a particularly simple example, as the fundamental group at play there is
и, следовательно, буквально является числом закрутки: окружность может быть обернута вокруг окружности целое число раз. Квантовая модель синуса-Гордона эквивалентна модели массивного Тирринга. Фундаментальные возбуждения — это фермионы: топологический квантовый номер — это число фермионов. После квантования модели синуса-Гордона топологический заряд становится «дробным». Последовательное рассмотрение ультрафиолетовой ренормализации показывает, что дробное число фермионов выталкивается за ультрафиолетовую границу. Таким образом, величина умножается на дробное число, зависящее от постоянной Планка.
and so is literally a winding number: a circle can be wrapped around a circle an integer number of times. Quantum sine Gordon model is equivalent to massive Thirring model. Fundamental excitations are fermions: topological quantum number is the number of fermions. After quantization of sine Gordon model the topological charge become 'fractional'. Consistent consideration of ultraviolet renormalization shows that a fractional number of fermions repelled over the ultraviolet cutoff. So the gets multiplied by a fractional number depending on Planck constant.
Физика твердого тела
В физике твердого тела некоторые типы кристаллических дислокаций, такие как спиральные дислокации, могут быть описаны топологическими солитонами. Примером служат спиральные дислокации, связанные с германиевыми усами.
In solid state physics, certain types of crystalline dislocations, such as screw dislocations, can be described by topological solitons. An example includes screw type dislocations associated with Germanium whiskers.