Қатынастар Геометриясы: Еуропалық Геометрияны Жаңаша Түсіндіру
Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry
Жаңа геометрия: Норман Уайлдбергердің «Құдай пропорциялары» кітабы рационалды тригонометрияны ұсынады. Иррационал сандарсыз геометрия, бұрыш өлшеудің жаңа тәсілі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
2005 жылғы жазықтық геометрияны жаңаша қарастыратын кітап
2005 book reformulating plane geometry
«Құдай пропорциялары: Ұсыныс тригонометриядан әмбебап геометрияға» – математик Норман Дж. Уайлдбергердің 2005 жылы жарық көрген, Эвклид геометриясы мен тригонометрияға ұсынылатын жаңа тәсіл туралы кітабы. Бұл тәсіл рационалды тригонометрия деп аталады. Кітапта тригонометрияның дәстүрлі негізгі шамалары – Эвклидтік қашықтық және бұрыш өлшемі, тиісінше, қашықтықтың квадраты және бұрыш синусының квадратымен алмастыру ұсынылады. Бұл логикалық жағынан стандартты әдістемемен тең (өйткені алмастырылған шамаларды стандартты шамалар арқылы және керісінше өрнектеуге болады). Автор өзінің тәсілінің бірнеше артықшылықтары бар екенін, мысалы, иррационал сандарды пайдалану қажеттілігінен құтылуға болатынын мәлімдейді. Кітап Уайлдбергердің өзі құрған «Wild Egg» баспасы арқылы дерлік өзіндік басылым түрінде жарық көрді. Кітаптағы формулалар мен теоремалар дұрыс математикалық ережелер деп есептеледі, бірақ оның практикалық немесе оқу-әдістемелік артықшылықтары туралы айғақтарды негізінен Уайлдбергер өзі жариялап, оларға қатысты пікірлер әртүрлі болды.
Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry is a 2005 book by the mathematician Norman J. Wildberger on a proposed alternative approach to Euclidean geometry and trigonometry, called rational trigonometry. The book advocates replacing the usual basic quantities of trigonometry, Euclidean distance and angle measure, by squared distance and the square of the sine of the angle, respectively. This is logically equivalent to the standard development (as the replacement quantities can be expressed in terms of the standard ones and vice versa). The author claims his approach holds some advantages, such as avoiding the need for irrational numbers. The book was "essentially self published" by Wildberger through his publishing company Wild Egg. The formulas and theorems in the book are regarded as correct mathematics but the claims about practical or pedagogical superiority are primarily promoted by Wildberger himself and have received mixed reviews.
Шолу
"Құдай пропорциялары"ның негізгі идеясы – қашықтықты Евклидтік квадрат қашықтығымен алмастыру, оны Уайлдбергер квадранс деп атайды, ал бұрыш өлшемдерін олардың синустарының квадраттарымен алмастыру, оны Уайлдбергер екі түзу арасындағы таралу деп атайды. "Құдай пропорциялары" осы екі ұғымды да түзу сызық сегментін немесе қиылысатын түзулер жұбын анықтайтын нүктелердің картезиандық координаттары арқылы анықтайды. Осылай анықталғанда, олар осы координаттардың рационалды функциялары болып табылады және қашықтықты немесе бұрыш өлшемдерін есептеу кезінде қажетті квадрат түбірлерді немесе кері тригонометриялық функцияларды алу қажеттілігінсіз тікелей есептелуі мүмкін. Финитист Вилдбергер үшін бұл алмастырудың артықшылығы – нақты сандарды анықтауда қолданылатын шектер мен нақты шексіздік ұғымдарын болдырмау, оларды Вилдбергер негізсіз деп санайды. Бұдан әрі, бұл ұқсас ұғымдарды рационалды сандардан басқа сандық жүйелерге, мысалы, шекті өрістерге квадранс пен таралудың бірдей формулаларын қолдану арқылы тікелей кеңейтуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, бұл әдіс екі түзудің құрамындағы екі қосымша бұрыштың мағынасыздығын болдырмайды, себебі екі бұрыш та бірдей таралуға ие. Бұл жүйе интуитивті және екі өлшемнен үш өлшемге оңай кеңейтіледі деп есептеледі. Дегенмен, осы артықшылықтардың орнына қашықтықтар мен бұрыштардың қосылу қасиеті жоғалады: мысалы, егер түзу сегменті екіге бөлінсе, оның ұзындығы екі бөліктің ұзындықтарының қосындысына тең болады, бірақ бөліктердің квадранстарын біріктіру қиынрақ және квадрат түбірлерді қажет етеді.
The main idea of Divine Proportions is to replace distances by the squared Euclidean distance, which Wildberger calls the quadrance, and to replace angle measures by the squares of their sines, which Wildberger calls the spread between two lines. Divine Proportions defines both of these concepts directly from the Cartesian coordinates of points that determine a line segment or a pair of crossing lines. Defined in this way, they are rational functions of those coordinates, and can be calculated directly without the need to take the square roots or inverse trigonometric functions required when computing distances or angle measures. For Wildberger, a finitist, this replacement has the purported advantage of avoiding the concepts of limits and actual infinity used in defining the real numbers, which Wildberger claims to be unfounded. It also allows analogous concepts to be extended directly from the rational numbers to other number systems such as finite fields using the same formulas for quadrance and spread. Additionally, this method avoids the ambiguity of the two supplementary angles formed by a pair of lines, as both angles have the same spread. This system is claimed to be more intuitive, and to extend more easily from two to three dimensions. However, in exchange for these benefits, one loses the additivity of distances and angles: for instance, if a line segment is divided in two, its length is the sum of the lengths of the two pieces, but combining the quadrances of the pieces is more complicated and requires square roots.
Ұйымдастыру және тақырыптар
"Құдай пропорциялары" төрт бөлімнен тұрады. I бөлім қашықтық пен бұрышты квадранс және таралумен алмастыруды қарастырады және олардың артықшылықтарын дәлелдейді. II бөлім I бөлімде айтылған талаптарды ресми түрде бекітеді және оларды қатаң түрде дәлелдейді. Сызықтарды нүктелердің шексіз жиынтығы ретінде анықтаудың орнына, олар нүктелер мен сызықтардың бір-бірімен сәйкес келуін тексеру формулаларында қолданылатын біртекті координаттар арқылы анықталады. Синус, косинус және тангенс сияқты, рационалды эквиваленттермен – "керісу" және "бұрылу" деп аталатын шамалармен алмастырылады, ал "Құдай пропорциялары" осы шамаларды қолданатын тригонометриялық тепе-теңдіктердің әртүрлі аналогтарын, соның ішінде Пифагор теоремасының, синус заңының және косинус заңының нұсқаларын ұсынады. III бөлімде алдыңғы екі бөлімде жасалған құралдарды пайдалана отырып, үшбұрыштар мен коникалық қималардың геометриясы дамытылады. Мысалы, үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы бойынша ауданын есептеуге арналған Герон формуласы немесе шеңбердегі хордаға сүйенген бұрыштар шеңбердің басқа нүктелерінен қарағанда тең болатын шеңберлік бұрыш теоремасы сияқты белгілі нәтижелер квадранс және таралу тұрғысынан қайта формулировкаланады, соның салдарынан сандардың кез келген өрісіне жалпыланады. Соңында, IV бөлім физика және геодезиядағы практикалық қолданымдарды қарастырады және жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне және полярлық координаттарға кеңейтулерді әзірлейді.
Divine Proportions is divided into four parts. Part I presents an overview of the use of quadrance and spread to replace distance and angle, and makes the argument for their advantages. Part II formalizes the claims made in part I, and proves them rigorously. Rather than defining lines as infinite sets of points, they are defined by their homogeneous coordinates, which may be used in formulas for testing the incidence of points and lines. Like the sine, the cosine and tangent are replaced with rational equivalents, called the "cross" and "twist", and Divine Proportions develops various analogues of trigonometric identities involving these quantities, including versions of the Pythagorean theorem, law of sines and law of cosines. Part III develops the geometry of triangles and conic sections using the tools developed in the two previous parts. Well known results such as Heron's formula for calculating the area of a triangle from its side lengths, or the inscribed angle theorem in the form that the angles subtended by a chord of a circle from other points on the circle are equal, are reformulated in terms of quadrance and spread, and thereby generalized to arbitrary fields of numbers. Finally, Part IV considers practical applications in physics and surveying, and develops extensions to higher dimensional Euclidean space and to polar coordinates.
Аудитория
"Құдай пропорциялары" кітабы оқырмандарынан көп математикалық білімді талап етпейді, бірақ оның көптеген ұзақ формулалары, жиі шекті өрістерді қарастыруы және (I бөлімнен кейін) математикалық дәлдікке баса назар аударуы, математиканы жақсы білетін көпшілік оқырмандар үшін қиындық тудыруы мүмкін. Оның орнына, бұл кітап негізінен математика мұғалімдері мен зерттеушілеріне арналған. Дегенмен, математика студенттері де оны оқи алады, сонымен қатар математика курсының негізі ретінде қолдануға болатын есептер де бар.
Divine Proportions does not assume much in the way of mathematical background in its readers, but its many long formulas, frequent consideration of finite fields, and (after part I) emphasis on mathematical rigour are likely to be obstacles to a popular mathematics audience. Instead, it is mainly written for mathematics teachers and researchers. However, it may also be readable by mathematics students, and contains exercises making it possible to use as the basis for a mathematics course.
Сыни қабылдау
Кітаптың сыншылар тарапынан ең оң баға алған ерекшелігі – оның арақашықтық және бұрыш геометриясы бойынша нәтижелерді шекті өрістерге дейін кеңейтуі. Сарапшы Лора Уайсвелл бұл жұмысты әсерлі деп тапты және тұрақты бесбұрышты қамтитын ең кішкентай шекті өрістің нәтижесімен таң қалды. Майкл Хенле кітаптың үшінші бөлімінде үшбұрыш және конус қима геометриясын шекті өрістерге кеңейтуді «үлкен жалпылықтың сәнді теориясы» деп атайды, ал Уильям Баркер де кітаптың осы аспектісін мақұлдап, оны «әсіресе жаңа» деп сипаттайды және жаңа зерттеу бағыттарын ашуға мүмкіндік береді. Уайсвелл бұл жұмыста келтірілген егжей-тегжейлі нәтижелердің қаншасы жаңалық болып табылады деген сұрақ қояды. Осыған байланысты Майкл Хенле еуропалық қашықтықтың квадратын қолданудың «басқа жағдайларда да жиі ыңғайлы екенін» атап өтеді; мысалы, ол қашықтық геометриясында, ең кіші квадраттар статистикасында және дөңгелек оптимизацияда қолданылады. Джеймс Франклин үш немесе одан көп өлшемді кеңістіктер үшін, дәстүрлі түрде сызықтық алгебраны пайдалану арқылы модельдегенде, Дивиан пропорциялары арқылы таралуды пайдалану тригонометриялық функциялардың орнына нүктелік көбейтуді қамтитын стандартты әдістерден көп айырмашылығы жоқ екенін көрсетеді. Вильдбергердің әдістерінің бір артықшылығы, Хенленің атап көрсетуінше, олар қарапайым алгебраны ғана қамтитындықтан, дәлелдерді оқу оңай және компьютер үшін тексеру оңай. Алайда, ол кітаптың жалпы теориясының үлкен қарапайымдығы туралы талаптары жалған салыстыруға негізделгенін айтады, онда квадранс және таралу арақашықтық, бұрыш және синус туралы классикалық түсініктерге емес, классикалық тригонометрияның құралдарының әлдеқайда кең жиынтығына қарсы салыстырылады. Ол сондай-ақ ғылыми калькулятормен студент үшін түбірлерді және тригонометриялық функцияларды болдырмайтын формулалар мәселе емес екенін атап өтеді, ал Баркер жаңа формулалар көбінесе жеке есептеу қадамдарының санын арттырады деп қосады. Көптеген сыншылар студенттерге тригонометрияны оқытуға қажетті уақытты қысқартуды құптаса да, Пол Кэмпбелл бұл әдістердің оқуды жылдамдататынына күмәнмен қарайды. Джерри Леверша ашық көзқарас білдіріп, «Уайлдбергердің мектеп оқушыларына арналған оқулықтарын және студенттерді сынауға қатысты бақыланатын эксперименттерді жасау туралы уәдесін көру қызықты болар еді» деп жазады. Алайда, 2020 жылға дейін бұл оқулықтар мен эксперименттер жарияланбаған. Уайсвелл дәстүрлі геометрияның осы әдістерден аулақ болатын негізгі кемшіліктері бар деген пікірге келіспейді. Уайсвеллмен келіскен Баркер, Вильдбергердің шексіздікке қатысты философиялық күдіктерін бөлісетін басқа математиктер болуы мүмкін екенін және бұл жұмыс олар үшін үлкен қызығушылық тудыруы керек екенін атап өтеді. Көптеген сыншылар көтерген соңғы мәселе – инерция: егер бұл әдістер жақсырақ болса, геометрия мен тригонометрияны осы тұрғыда қайта оқуға жұмсалатын жеке күш-жігер және классикалық геометрия мен тригонометрияның орнына оларды пайдалану үшін мектеп оқу бағдарламасын қайта құруға жұмсалатын институционалдық күш-жігер осыған тұрарлық па еді? Хенле, Баркер және Леверша кітаптың бұл туралы нақты дәлел келтірмегенін айтады, бірақ Сандра Арлингхаус бұл жұмысты өзінің математикалық географиясы сияқты «дәстүрлі институционалдық қатаңдыққа салыстырмалы түрде аз инвестиция салған» салалар үшін осындай ауыстырудың мүмкіндігін көрсету мүмкіндігі ретінде қарастырады.
The feature of the book that was most positively received by reviewers was its work extending results in distance and angle geometry to finite fields. Reviewer Laura Wiswell found this work impressive, and was charmed by the result that the smallest finite field containing a regular pentagon is Michael Henle calls the extension of triangle and conic section geometry to finite fields, in part III of the book, "an elegant theory of great generality", and William Barker also writes approvingly of this aspect of the book, calling it "particularly novel" and possibly opening up new research directions. Wiswell raises the question of how many of the detailed results presented without attribution in this work are actually novel. In this light, Michael Henle notes that the use of squared Euclidean distance "has often been found convenient elsewhere"; for instance it is used in distance geometry, least squares statistics, and convex optimization. James Franklin points out that for spaces of three or more dimensions, modelled conventionally using linear algebra, the use of spread by Divine Proportions is not very different from standard methods involving dot products in place of trigonometric functions. An advantage of Wildberger's methods noted by Henle is that, because they involve only simple algebra, the proofs are both easy to follow and easy for a computer to verify. However, he suggests that the book's claims of greater simplicity in its overall theory rest on a false comparison in which quadrance and spread are weighed not against the corresponding classical concepts of distances, angles, and sines, but the much wider set of tools from classical trigonometry. He also points out that, to a student with a scientific calculator, formulas that avoid square roots and trigonometric functions are a non issue, and Barker adds that the new formulas often involve a greater number of individual calculation steps. Although multiple reviewers felt that a reduction in the amount of time needed to teach students trigonometry would be very welcome, Paul Campbell is skeptical that these methods would actually speed learning. Gerry Leversha keeps an open mind, writing that "It will be interesting to see some of the textbooks aimed at school pupils [that Wildberger] has promised to produce, and controlled experiments involving student guinea pigs." as of 2020, however, these textbooks and experiments have not been published. Wiswell is unconvinced by the claim that conventional geometry has foundational flaws that these methods avoid. While agreeing with Wiswell, Barker points out that there may be other mathematicians who share Wildberger's philosophical suspicions of the infinite, and that this work should be of great interest to them. A final issue raised by multiple reviewers is inertia: supposing for the sake of argument that these methods are better, are they sufficiently better to make worthwhile the large individual effort of re learning geometry and trigonometry in these terms, and the institutional effort of re working the school curriculum to use them in place of classical geometry and trigonometry? Henle, Barker, and Leversha conclude that the book has not made its case for this, but Sandra Arlinghaus sees this work as an opportunity for fields such as her mathematical geography "that have relatively little invested in traditional institutional rigidity" to demonstrate the promise of such a replacement.