Кіріспе
Жинақтар теориясы тұжырымдамасы. Математикалық логикада Бульдік мәнді модель – модельдер теориясынан Тарскинің құрылым туралы дәстүрлі түсінігінің жалпылама түрі. Бульдік мәнді модельдегі пікірлердің шындық мәндері "ақиқат" және "жалған" дегенмен ғана шектелмейді, олар белгілі бір толық Бульдік алгебрадағы мәндерді қабылдайды. Бульдік мәнді модельдерді 1960 жылдары Дана Скотт, Роберт М. Соловай және Петр Вопенка Пауль Коэннің мәжбүрлеу әдісін түсінуге көмектесу мақсатымен енгізді. Олар сонымен қатар интуициялық логикадағы Хейтинг алгебрасының семантикасымен де байланысты.
In mathematical logic, a Boolean valued model is a generalization of the ordinary Tarskian notion of structure from model theory. In a Boolean valued model, the truth values of propositions are not limited to "true" and "false", but instead take values in some fixed complete Boolean algebra. Boolean valued models were introduced by Dana Scott, Robert M. Solovay, and Petr Vopěnka in the 1960s in order to help understand Paul Cohen's method of forcing. They are also related to Heyting algebra semantics in intuitionistic logic.
Анықтама
Толық Буль алгебрасы B және бірінші реттік тіл L берілсін; L тілінің қолтаңбасы тұрақты символдар, функция символдары және қатынас символдары жиынтығынан тұрады. L тілі үшін Бульдік бағаланған модель – M ғаламы, ол элементтердің (немесе атаулардың) жиынтығы және символдардың интерпретацияларынан тұрады. Нақтырақ айтқанда, модель L тілінің әр тұрақты символына M жиынынан бір элементті, ал L тілінің әр n-арлық функция символына және M жиынының әр n-тік элементтеріне f(a₀, ..., aₙ₋₁) түріндегі термінге M жиынынан бір элементті сәйкестендіруі керек. L тілінің атомдық формулаларын интерпретациялау күрделірек. Модель M жиынының кез келген a және b жұптары үшін ; өрнекіне Буль алгебрасы B-ден алынған шындық мәнін сәйкестендіруі керек. Сол сияқты, L тілінің әр n-арлық қатынас символы R және M жиынының әр n-тік элементтері үшін модель шындық мәні ретінде B алгебрасынан бір элементті тағайындауы керек.
Қатаңдықпен байланысты
Жинақтар теориясымен айналысатындар тәуелсіздік нәтижелерін алу және басқа мақсаттар үшін жинақтар теориясының модельдерін құру үшін "мәжбүрлеу" деп аталатын әдіс қолданады. Бұл әдісті алғашқыда Пол Коэн жасаған, бірақ содан бері ол көптеген жаңалықтармен толықтырылды. Бір түрінде мәжбүрлеу "ғаламға" жаңадан бір жинақтың бөлігін қосады, бұл жинақ – белгілі бір реттілікке (poset) тиесілі, ал реттілік жаңадан қосылған нысанға қатысты қызықты қасиеттерді орнату үшін жасалған. Бірақ мәселе мынада: (маңызды реттіліктер үшін) реттіліктің мұндай бөлігі жоқ екенін дәлелдеуге болады. Осыған байланысты үш қалыпты тәсіл бар: синтаксистік мәжбүрлеу. Реттіліктің p элементтері мен мәжбүрлеу тілінің φ формулалары арасында мәжбүрлеу қатынасы анықталады. Бұл қатынас синтаксистік тұрғыдан анықталады және семантикалық мағынасы жоқ, яғни ешқандай модель жасалмайды. Керісінше, ZFC (немесе жинақтар теориясының басқа аксиоматизациясы) тәуелсіз ерекшелікті дәлелдейді деген болжамнан бастап, ZFC қарама-қайшылықты да дәлелдей алатынын көрсетеді. Дегенмен, мәжбүрлеу "V-ге қатысты" болады, яғни саналатын транзитивті модельден бастау міндетті емес. Бұл әдіс туралы толық мәлімет алу үшін Куненнің (1980) еңбегіне жүгініңіз. Саналатын транзитивті модельдер. Бірінші қадам – қажетті мақсатқа жеткілікті жинақтар теориясын қамтитын және реттілікті де қамтитын саналатын транзитивті модель M-ді алу. Содан кейін M-ге қатысты жаңадан пайда болатын сүзгілер бар, яғни реттіліктің барлық тығыз ашық бөліктерімен сәйкес келетін, сонымен қатар M-нің элементтері болып табылатын сүзгілер. Құбылып шыққан жаңадан пайда болған объектілер. Көбінесе жинақтар теориясымен айналысатындар реттіліктің V-нің барлық бөлігіне қатысты жаңадан пайда болған бөлігі бар деп есептейді. Бұл жаңадан пайда болған объект тривиальды емес жағдайларда V-нің элементі бола алмайды, сондықтан "шын мәнінде жоқ". (Әрине, кез келген жинақтың "шын мәнінде бар" екендігі туралы философиялық пікірталас бар, бірақ ол осы талқылаудың шегінен тыс.) Біраз тәжірибеден кейін бұл әдіс пайдалы және сенімді болып көрінеді, бірақ философиялық тұрғыдан толық қанағаттандырмауы мүмкін.
syntactic forcing A forcing relation is defined between elements p of the poset and formulas φ of the forcing language. This relation is defined syntactically and has no semantics; that is, no model is ever produced. Rather, starting with the assumption that ZFC (or some other axiomatization of set theory) proves the independent statement, one shows that ZFC must also be able to prove a contradiction. However, the forcing is "over V"; that is, it is not necessary to start with a countable transitive model. See Kunen (1980) for an exposition of this method. countable transitive models One starts with a countable transitive model M of as much of set theory as is needed for the desired purpose, and that contains the poset. Then there do exist filters on the poset that are generic over M; that is, that meet all dense open subsets of the poset that happen also to be elements of M.
fictional generic objects Commonly, set theorists will simply pretend that the poset has a subset that is generic over all of V. This generic object, in nontrivial cases, cannot be an element of V, and therefore "does not really exist". (Of course, it is a point of philosophical contention whether any sets "really exist", but that is outside the scope of the current discussion.) With a little practice this method is useful and reliable, but it can be philosophically unsatisfying.