Введение

Концепция теории множеств
В математической логике, булевальнозначная модель является обобщением обычного тарского понятия структуры из теории моделей. В булевальнозначной модели, значения истинности высказываний не ограничиваются "истиной" и "ложностью", а вместо этого принимают значения в некоторой фиксированной полной булевой алгебре. Булевальнозначные модели были введены Даной Скотт, Робертом М. Солоуэем и Петром Вопенкой в 1960-х годах для лучшего понимания метода принуждения Пола Коэна. Они также связаны с семантикой алгебры Хейтинга в интуиционистской логике.

Определение

Зафиксируем полную булеву алгебру B и язык первого порядка L; сигнатура L состоит из набора символов констант, символов функций и символов отношений. Булева модель для языка L состоит из области M, представляющей собой множество элементов (или имен), вместе с интерпретациями символов. В частности, модель должна сопоставить каждому символу константы L элемент из M, а каждому n-арному символу функции f из L и каждой n-кортежу элементов из M – элемент из M, соответствующий терму f(a0, ..., an-1). Интерпретация атомарных формул L более сложна. Для каждой пары элементов a и b из M модель должна сопоставить значение истинности выражению ; это значение истинности берется из булевой алгебры B. Аналогично, для каждого n-арного символа отношения R из L и каждого n-кортежа элементов из M модель должна сопоставить элемент B в качестве значения истинности.

Отношение к принуждению

Теоретики множеств используют метод, называемый принуждением, для получения результатов независимости и построения моделей теории множеств в других целях. Метод был первоначально разработан Полом Коэном, но с тех пор значительно расширен. В одной из форм принуждение "добавляет во вселенную" родовое подмножество посета, при этом посет конструируется таким образом, чтобы наложить интересные свойства на вновь добавленный объект. Проблема в том, что (для интересных посет) можно доказать, что такого родового подмножества просто не существует. Существует три основных способа решения этой проблемы:
синтаксическое принуждение: определяется отношение принуждения между элементами *p* посета и формулами φ языка принуждения. Это отношение определяется синтаксически и лишено семантики, то есть модель не строится. Вместо этого, исходят из предположения, что ZFC (или другая аксиоматизация теории множеств) доказывает независимое утверждение, и показывают, что ZFC также должно быть способно доказать противоречие. При этом принуждение происходит "над V", то есть нет необходимости начинать с счётной транзитивной модели. Подробнее об этом методе см. в Кунен (1980). счётные транзитивные модели: начинают с счётной транзитивной модели *M* теории множеств, содержащей посет и достаточной для достижения поставленной цели. Затем существуют фильтры на посете, которые являются родовыми относительно *M*, то есть пересекают все плотные открытые подмножества посета, которые также являются элементами *M*.
фиктивные родовые объекты: теоретики множеств часто просто предполагают, что посет имеет подмножество, родовое относительно всей *V*. Этот родовый объект, в нетривиальных случаях, не может быть элементом *V* и, следовательно, "фактически не существует". (Разумеется, вопрос о том, существуют ли множества "фактически", является предметом философских споров, но выходит за рамки данного обсуждения.) При некоторой практике этот метод оказывается полезным и надёжным, хотя и может быть философски неудовлетворительным.