Кіріспе
Жазықтық домендері арасындағы гомеоморфизм
Математикалық кешенді талдауда квазиконформалды бейнелеу, енгізілген және аталған, – бұл жазықтық домендері арасындағы гомеоморфизм, ол бірінші ретте кішкентай шеңберлерді шектелген эксцентриситеттегі кішкентай эллипстерге жібереді. Түсіндіру үшін, f : D → D′ болсын – жазықтықтағы ашық жиындар арасындағы бағдарды сақтайтын гомеоморфизм. Егер f үздіріссіз дифференциалданатын болса, онда ол K квазиконформалды болады, егер f-тің әрбір нүктедегі туындысы шеңберлерді K-мен шектелген эксцентриситеттегі эллипске айналдырса.
Қасиеттері
Егер K > 1 болса, онда x + iy → Kx + iy және x + iy → x + iKy карталары квазиконформал және тұрақты K созуға ие. Егер s > −1 болса, z → z^s картасы квазиконформал (мұнда z – комплекс сан) және тұрақты созуға ие. s ≠ 0 болғанда, бұл теңдес гомеоморфизмнің бір мысалы. Егер s = 0 болса, бұл жай ғана сәйкестік картасы. Гомеоморфизм 1 квазиконформал болады, егер және тек қана егер ол конформал болса. Сондықтан сәйкестік картасы әрқашан 1 квазиконформал болып табылады. Егер f: D → D′ K квазиконформал болса және g: D′ → D′′ K′ квазиконформал болса, онда g o f KK′ квазиконформал болады. K квазиконформал гомеоморфизмнің керісі K квазиконформал. 1 квазиконформал карталар жиынтығы композиция бойынша топты құрайды. Комплекс жазықтықтан өзіне дейінгі K квазиконформал карталар кеңістігі үш ерекше нүктені үш берілген нүктеге бейнелеуде компакт.
If s > −1 then the map is quasiconformal (here z is a complex number) and has constant dilatation When s ≠ 0, this is an example of a quasiconformal homeomorphism that is not smooth. If s = 0, this is simply the identity map. A homeomorphism is 1 quasiconformal if and only if it is conformal. Hence the identity map is always 1 quasiconformal. If f : D → D′ is K quasiconformal and g : D′ → D′′ is K′ quasiconformal, then g o f is KK′ quasiconformal. The inverse of a K quasiconformal homeomorphism is K quasiconformal. The set of 1 quasiconformal maps forms a group under composition. The space of K quasiconformal mappings from the complex plane to itself mapping three distinct points to three given points is compact.
Өлшеуге болатын Риманның карталау теоремасы
Екі өлшемдегі квазиконформалды карталау теориясындағы маңызды теорема – өлшенетін Риман карталау теоремасы, оны Ларс Ахлфорс және Липман Берс дәлелдеген. Бұл теорема Риман карталау теоремасын конформды гомеоморфизмдерден квазиконформды гомеоморфизмдерге жалпылайды және былай тұжырымдалады. D домені C жазықтығындағы жай байланысқан домен болсын, бірақ C-ге тең болмасын, ал μ: D → C функциясы Лебег өлшенетін және белгілі шарттарды қанағаттандырсын. Онда D-ден бірлік дискіге квазиконформды гомеоморфизм f бар, ол W1,2(D) Соболев кеңістігіне жатады және тарату мағынасында сәйкес Белтрами теңдеуін қанағаттандырады. Риман карталау теоремасындай, бұл f 3 нақты параметрге дейін бірегей.
Есептеулік квази-конформальды геометрия
Соңғы уақытта квазиконформальды геометрия қолданбалы математика, компьютерлік көру және медициналық бейнелеу сияқты түрлі салалардың назарын аударды. Есептеулік квазиконформальды геометрия жасалды, ол квазиконформальды теорияны дискретті жағдайға ұзартады. Ол медициналық бейнелерді талдау, компьютерлік көру және графика салаларында маңызды қолданыстар тапты.