Введение
Гомеоморфизм между плоскостными областями
В математическом комплексном анализе квазиконформное отображение, введенное и названное , является гомеоморфизмом между плоскостными областями, который в первом приближении переводит малые окружности в малые эллипсы с ограниченной эксцентриситетом. Интуитивно, пусть f : D → D′ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм между открытыми множествами на плоскости. Если f непрерывно дифференцируема, то она называется K-квазиконформной, если производная f в каждой точке отображает окружности в эллипсы с эксцентриситетом, не превышающим K.
Свойства
Если K > 1, то отображения x + iy ↦ Kx + iy и x + iy ↦ x + iKy являются квазиконформными и имеют постоянное растяжение K.
Если s > −1, то отображение является квазиконформным (здесь z – комплексное число) и имеет постоянное растяжение. Когда s ≠ 0, это пример квазиконформного гомеоморфизма, который не является гладким. Если s = 0, это просто тождественное отображение. Гомеоморфизм является 1-квазиконформным тогда и только тогда, когда он конформный. Следовательно, тождественное отображение всегда 1-квазиконформно. Если f : D → D′ является K-квазиконформным, а g : D′ → D′′ является K′-квазиконформным, то g o f является KK′-квазиконформным. Обратное к K-квазиконформному гомеоморфизму является K-квазиконформным. Множество 1-квазиконформных отображений образует группу относительно композиции. Пространство K-квазиконформных отображений комплексной плоскости на себя, отображающих три различные точки в три заданные точки, компактно.
Измеримая теорема отображения Римана
Центральное значение в теории квазиконформных отображений в двух измерениях имеет измеримая теорема Римана об отображениях, доказанная Ларсом Ахлфорсом и Липманом Берсом. Теорема обобщает теорему Римана об отображениях с конформных на квазиконформные гомеоморфизмы и формулируется следующим образом. Пусть D — односвязная область в C, не равная C, и пусть μ : D → C — измеримая функция, удовлетворяющая условию… Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм f из D на единичный диск, принадлежащий пространству Соболева W1,2(D) и удовлетворяющий соответствующему уравнению Бельтрами в смысле обобщённых функций. Как и в теореме Римана об отображениях, эта функция f определена с точностью до 3 вещественных параметров.
Вычислительная квазиконформная геометрия
В последнее время квазиконформная геометрия привлекла внимание специалистов из различных областей, таких как прикладная математика, компьютерное зрение и медицинская визуализация. Была разработана вычислительная квазиконформная геометрия, которая переносит квазиконформную теорию в дискретное пространство. Она нашла разнообразные важные применения в анализе медицинских изображений, компьютерном зрении и графике.