Кіріспе
Математикада, топтар теориясы саласында, квазинормальды кіші топ немесе ауыспалы кіші топ – бұл кіші топтардың көбейтіндісіне қатысты кез келген басқа кіші топпен ауысатын (пермутацияланатын) кіші топ. Квазинормальды кіші топ термині 1937 жылы Ойстейн Оре енгізген. Екі кіші топ пермутацияланады (немесе коммутацияланады) делінеді, егер бірінші кіші топтың кез келген елементі, екінші кіші топтың елементімен көбейтілгенде, екінші кіші топтың елементі ретінде жазыла алатын болса, содан кейін бірінші кіші топтың елементі. Яғни, егер HK = KH болса, онда H пен K кіші топтары ауысады, яғни, және түріндегі кез келген элементті және түрінде жазуға болады. Кез келген нормальді кіші топ квазинормальды болады, себебі нормальді кіші топ топтың кез келген елементімен ауысады. Керісінше, бұл дұрыс емес. Мысалы, бірдей (жұп) жай сан үшін циклдік топтың басқа циклдік топқа жасалған кез келген кеңеюінің барлық кіші топтары квазинормальды болады. Дегенмен, оның барлық кіші топтары нормальді болуы міндетті емес. Кез келген квазинормальды кіші топ модульді кіші топ болып табылады, яғни кіші топтар торындағы модульді элемент. Бұл топтардың модульді қасиетінен туындайды. Егер барлық кіші топтар квазинормальды болса, онда топты Ивасава тобы деп атайды, кейде оны модульдік топ деп те атайды, бірақ соңғы терминнің басқа да мағыналары бар. Кез келген топта, кез келген квазинормальды кіші топ асцендентті болады. Конъюгатпен ауыстырылатын кіші топ – барлық өз конъюгат кіші топтарымен ауысатын кіші топ. Кез келген квазинормальды кіші топ конъюгатпен ауыстырылатын болады.
subgroup, times an element of the second subgroup, can be written as an element of the second
subgroup, times an element of the first subgroup. That is, and
as subgroups of are said to commute if HK = KH, that is, any element of the form
with and can be written in the form
where and
Every normal subgroup is quasinormal, because a normal subgroup commutes with every element of the group. The converse is not true. For instance, any extension of a cyclic group by another cyclic group for the same (odd) prime has the property that all its subgroups are quasinormal. However, not all of its subgroups need be normal. Every quasinormal subgroup is a modular subgroup, that is, a modular element in the lattice of subgroups. This follows from the modular property of groups. If all subgroups are quasinormal, then the group is called an Iwasawa group—sometimes also called a modular group, although this latter term has other meanings. In any group, every quasinormal subgroup is ascendant. A conjugate permutable subgroup is one that commutes with all its conjugate subgroups. Every quasinormal subgroup is conjugate permutable.
Шекті топтарда
Шекті топтың әрбір квазинормальды кіші тобы – субнормальды кіші топ. Бұл, әрбір конъюгаттық пермутативті кіші топтың субнормальды екендігінен туындайды, ал бұл өз кезегінде әрбір максималды конъюгаттық пермутативті кіші топтың нормальды екендігінен туындайды. (Финниттілік дәлелдемелерде маңызды рөл атқарады.) Қорыта айтқанда, G шекті тобының H кіші тобы G-де пермутативті болады, егер және тек қана H кіші тобы G-де модульдік және субнормальды болса.
PT топтары
Өзара ауыстырылу қатысы жалпы жағдайда транзитивті емес. Өзара ауыстырылу транзитивті болатын топтар, нормальділік транзитивті болатын Т-топтармен салыстыра отырып, PT-топтар деп аталады.