Введение
В математике, в области теории групп, квазинормальная подгруппа, или переставляемая подгруппа, является подгруппой группы, которая переставляет (коммутирует) с каждой другой подгруппой относительно произведения подгрупп. Термин "квазинормальная подгруппа" был введен Øystein Ore в 1937 году. Две подгруппы называются переставляемыми (или коммутирующими), если любой элемент из первой подгруппы, умноженный на элемент второй подгруппы, может быть записан как элемент второй подгруппы, умноженный на элемент первой подгруппы. То есть, и как подгруппы из , говорят, что коммутируют, если HK = KH, то есть, любой элемент вида с и может быть записан в виде , где и . Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной, поскольку нормальная подгруппа коммутирует с каждым элементом группы. Обратное неверно. Например, любое расширение циклической группы другой циклической группой для одного и того же (нечетного) простого числа обладает свойством, что все её подгруппы являются квазинормальными. Однако не все её подгруппы обязаны быть нормальными. Каждая квазинормальная подгруппа является модульной подгруппой, то есть модульным элементом в решетке подгрупп. Это следует из модульного свойства групп. Если все подгруппы являются квазинормальными, то группа называется группой Ивасава, иногда также называемой модульной группой, хотя этот последний термин имеет и другие значения. В любой группе каждая квазинормальная подгруппа является восходящей. Переставляемая сопряженная подгруппа – это подгруппа, которая коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами. Каждая квазинормальная подгруппа является переставляемой сопряженно.
subgroup, times an element of the second subgroup, can be written as an element of the second
subgroup, times an element of the first subgroup. That is, and
as subgroups of are said to commute if HK = KH, that is, any element of the form
with and can be written in the form
where and
Every normal subgroup is quasinormal, because a normal subgroup commutes with every element of the group. The converse is not true. For instance, any extension of a cyclic group by another cyclic group for the same (odd) prime has the property that all its subgroups are quasinormal. However, not all of its subgroups need be normal. Every quasinormal subgroup is a modular subgroup, that is, a modular element in the lattice of subgroups. This follows from the modular property of groups. If all subgroups are quasinormal, then the group is called an Iwasawa group—sometimes also called a modular group, although this latter term has other meanings. In any group, every quasinormal subgroup is ascendant. A conjugate permutable subgroup is one that commutes with all its conjugate subgroups. Every quasinormal subgroup is conjugate permutable.
В конечных группах
Каждая квазинормальная подгруппа конечной группы является субнормальной подгруппой. Это следует из несколько более сильного утверждения о том, что каждая сопряженно-переставляемая подгруппа является субнормальной, что, в свою очередь, следует из утверждения о том, что каждая максимальная сопряженно-переставляемая подгруппа является нормальной. (Конечность принципиально важна в доказательствах.) В итоге, подгруппа H конечной группы G сопряженно-переставляема в G тогда и только тогда, когда H одновременно модульна и субнормальна в G.
Группы PT
Пермутабельность не является транзитивным отношением вообще говоря. Группы, в которых пермутабельность транзитивна, называются PT-группами, по аналогии с T-группами, в которых нормальность транзитивна.