Кіріспе
Кватерниондарды басқа салаларға жалпылау Математикада F өрісіндегі кватернион алгебрасы – F өрісі үстінде 4 өлшемді орталық қарапайым алгебра A. Кез келген кватернион алгебрасы скалярларды кеңейту арқылы (әйтпесе, өріс кеңейтумен тензорлау арқылы) матрицалық алгебраға айналады, яғни F өрісінің K кеңейтімі үшін K өрісіндегі 2 × 2 матрицалық алгебраға изоморфты болады. Кватернион алгебрасының ұғымы Гамильтон кватерниондарын кез келген базалық өріске жалпылау ретінде қарастырылуы мүмкін. Гамильтон кватерниондары – бұл (жоғарыда аталған мағынада) өрісіндегі кватернион алгебрасы, және изоморфизмге дейін өрісіндегі 2 × 2 нақты матрицалық алгебрасынан басқа, жалғыз ғана алгебра. Егер болса, бикватерниондар F өрісіндегі кватернион алгебрасын құрайды.
In mathematics, a quaternion algebra over a field F is a central simple algebra A over F that has dimension 4 over F. Every quaternion algebra becomes a matrix algebra by extending scalars (equivalently, tensoring with a field extension), i. e. for a suitable field extension K of F, is isomorphic to the 2 × 2 matrix algebra over K.
The notion of a quaternion algebra can be seen as a generalization of Hamilton's quaternions to an arbitrary base field. The Hamilton quaternions are a quaternion algebra (in the above sense) over , and indeed the only one over apart from the 2 × 2 real matrix algebra, up to isomorphism. When , then the biquaternions form the quaternion algebra over F.
Құрылымы
Кватернион алгебрасы Гамильтонның кватерниондары алгебрасынан гөрі жалпы мағынаны білдіреді. F коэффициент өрісінің ерекшелігі 2 болмаған жағдайда, F үстіндегі әрбір кватернион алгебрасын келесі көбейту ережелерімен сипатталатын, негізі 4 өлшемді F векторлық кеңістік ретінде қарастыруға болады:
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
мұнда a және b – F-дің кез келген нөлден өзге элементтері. Осы ережелерден мыналар шығады:
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
Классикалық мысалдар – Гамильтон кватерниондары (a = b = −1) және бөлінген кватерниондар (a = −1, b = +1). Бөлінген кватерниондарда және , бұл Гамильтон теңдеулерінен өзгеше. Осылай анықталған алгебра (a,b)F немесе жай ғана (a,b) деп белгіленеді. Егер F-тің ерекшелігі 2 болса, 4 элементтің негізі арқылы басқаша нақты сипаттама да мүмкін, бірақ кез келген жағдайда F үстіндегі 4 өлшемді орталық қарапайым алгебра ретінде кватернион алгебрасының анықтамасы барлық ерекшеліктерде біркелкі қолданылады. Кватернион алгебрасы (a,b)F – бөлгіш алгебра немесе F үстіндегі 2 × 2 матрицалардың матрицалық алгебрасына изоморфты; соңғы жағдай бөлінген деп аталады. Нормалық форма
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
бөлгіш алгебра құрылымын анықтайды, егер және тек қана норма анизотроптық квадраттық форма болса, яғни тек нөл элементінде ғана нөлге тең болса. C(a,b) конусы бөлінген жағдайда F-те координаттары бар (x, y, z) нүктесіне ие.
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
Қолдану
Кватернион алгебралары сандар теориясында, әсіресе квадраттық формаларға қолданылады. Олар F өрісінің Брауер тобындағы екінші реттік элементтерді жасайтын нақты құрылымдар болып табылады. Кейбір өрістер үшін, алгебралық сан өрістерін қоса алғанда, оның Брауер тобындағы кез келген 2-реттік элемент кватернион алгебрасымен өкілдік етіледі. Александр Меркурьевтың теоремасы бойынша, кез келген өрістің Брауер тобындағы 2-реттік әрбір элемент кватернион алгебраларының тензорлық көбейтіндісімен өкілдік етіледі. Атап айтқанда, p-адикалық өрістерде кватернион алгебраларын құру жергілікті сынып өрістер теориясының квадраттық Гильберт символы ретінде қарастырылуы мүмкін.
Рационалдық сандар бойынша кватернион алгебрасы
Рационалдық сандар үстіндегі кватернион алгебраларының арифметикалық теориясы квадраттық кеңейтулердікіне ұқсас, бірақ одан күрделі. болсын – рационалдық сандар үстіндегі кватернион алгебрасы, ал – оның орны, толықтырылымы болсын (яғни, ол белгілі бір жай сан p үшін p-адық сандар немесе нақты сандар). анықтаңыз, ол үстіндегі кватернион алгебрасы болады. Олай болса, екі таңдау бар: үстіндегі 2 × 2 матрицалар немесе бөлу алгебрасы. Егер , 2 × 2 матрицаларға изоморфты болса, онда ол бөлінген (немесе тармақталмаған) деп айтамыз. Егер B бөлінбесе, онда ол үстіндегі кватерниондық бөлу алгебрасы болып табылады. Мысалы, рационалды Гамильтон кватерниондары 2 және барлық тақ жай сандарда бөлінбейді, ал барлық орындарда бөлінеді. Рационалды 2 × 2 матрицалары барлық орындарда бөлінеді. орында бөлінетін рационалдар үстіндегі кватернион алгебрасы нақты квадраттық өріске, ал орында бөлінбейтін алгебра – жорамал квадраттық өріске ұқсас. Бұл аналогияның себебі – квадраттық өріс генератордың минималды полиномы нақты сандарға бөлінгенде нақты қатыстыруларға, ал бөлінбегенде – нақты емес қатыстыруларға ие болады. Бұл аналогияның күшін көрсететін мысал – рационалды кватернион алгебрасының бірлік тобы: кватернион алгебрасы орында бөлінсе, ол шексіз, ал бөлінбесе – шекті, дәл сияқты квадраттық сақинадағы бірлік тобы нақты квадраттық жағдайда шексіз, ал басқа жағдайда – шекті. Рационалдар үстіндегі кватернион алгебрасының тармақталатын орындарының саны әрқашан жұп болады, бұл рационалдар үстіндегі квадраттық өзара байланыс заңына тең. Сонымен қатар, B тармақталатын орындар B-ні алгебра ретінде изоморфизмге дейін анықтайды. (Яғни, рационалдар үстіндегі изоморфты емес кватернион алгебралары тармақталатын орындарының бірдей жиынтығына ие болмайды.) B тармақталатын жай сандардың көбейтіндісі B-нің дискриминанты деп аталады.
Let be a quaternion algebra over and let be a place of , with completion (so it is either the p adic numbers for some prime p or the real numbers ). Define , which is a quaternion algebra over So there are two choices for
: the 2 × 2 matrices over or a division algebra. We say that is split (or unramified) at if is isomorphic to the 2 × 2 matrices over We say that B is non split (or ramified) at if is the quaternion division algebra over For example, the rational Hamilton quaternions is non split at 2 and at and split at all odd primes. The rational 2 × 2 matrices are split at all places. A quaternion algebra over the rationals which splits at is analogous to a real quadratic field and one which is non split at is analogous to an imaginary quadratic field. The analogy comes from a quadratic field having real embeddings when the minimal polynomial for a generator splits over the reals and having non real embeddings otherwise. One illustration of the strength of this analogy concerns unit groups in an order of a rational quaternion algebra:
it is infinite if the quaternion algebra splits at and it is finite otherwise, just as the unit group of an order in a quadratic ring is infinite in the real quadratic case and finite otherwise. The number of places where a quaternion algebra over the rationals ramifies is always even, and this is equivalent to the quadratic reciprocity law over the rationals. Moreover, the places where B ramifies determines B up to isomorphism as an algebra. (In other words, non isomorphic quaternion algebras over the rationals do not share the same set of ramified places.) The product of the primes at which B ramifies is called the discriminant of B.