Введение
Обобщение кватернионов на другие поля
In mathematics, a quaternion algebra over a field F is a central simple algebra A over F that has dimension 4 over F. Every quaternion algebra becomes a matrix algebra by extending scalars (equivalently, tensoring with a field extension), i. e. for a suitable field extension K of F, is isomorphic to the 2 × 2 matrix algebra over K.
The notion of a quaternion algebra can be seen as a generalization of Hamilton's quaternions to an arbitrary base field. The Hamilton quaternions are a quaternion algebra (in the above sense) over , and indeed the only one over apart from the 2 × 2 real matrix algebra, up to isomorphism. When , then the biquaternions form the quaternion algebra over F.
В математике кватернионная алгебра над полем F — это центральная простая алгебра A над F, размерность которой равна 4 над F. Каждая кватернионная алгебра становится матричной алгеброй посредством расширения скаляров (эквивалентно, тензорного произведения с расширением поля), то есть для подходящего расширения поля K поля F алгебра изоморфна матричной алгебре 2 × 2 над K.
In mathematics, a quaternion algebra over a field F is a central simple algebra A over F that has dimension 4 over F. Every quaternion algebra becomes a matrix algebra by extending scalars (equivalently, tensoring with a field extension), i. e. for a suitable field extension K of F, is isomorphic to the 2 × 2 matrix algebra over K.
The notion of a quaternion algebra can be seen as a generalization of Hamilton's quaternions to an arbitrary base field. The Hamilton quaternions are a quaternion algebra (in the above sense) over , and indeed the only one over apart from the 2 × 2 real matrix algebra, up to isomorphism. When , then the biquaternions form the quaternion algebra over F.
Понятие кватернионной алгебры можно рассматривать как обобщение кватернионов Гамильтона на произвольное базовое поле. Кватернионы Гамильтона являются кватернионной алгеброй (в вышеуказанном смысле) над ℝ, и, фактически, единственной над ℝ, помимо 2 × 2 реальной матричной алгебры, с точностью до изоморфизма. Когда F = ℂ, то бикватернионы образуют кватернионную алгебру над F.
In mathematics, a quaternion algebra over a field F is a central simple algebra A over F that has dimension 4 over F. Every quaternion algebra becomes a matrix algebra by extending scalars (equivalently, tensoring with a field extension), i. e. for a suitable field extension K of F, is isomorphic to the 2 × 2 matrix algebra over K.
The notion of a quaternion algebra can be seen as a generalization of Hamilton's quaternions to an arbitrary base field. The Hamilton quaternions are a quaternion algebra (in the above sense) over , and indeed the only one over apart from the 2 × 2 real matrix algebra, up to isomorphism. When , then the biquaternions form the quaternion algebra over F.
Структура
Кватернионная алгебра в данном случае означает нечто более общее, чем алгебра кватернионов Гамильтона. Если поле коэффициентов F не имеет характеристики 2, то любая кватернионная алгебра над F может быть описана как 4-мерное векторное пространство над F с базисом, с правилами умножения: где a и b – любые ненулевые элементы поля F. Из этих правил следует: Классическими примерами являются кватернионы Гамильтона (a = b = −1) и расщеплённые кватернионы (a = −1, b = +1). Для расщеплённых кватернионов и , что отличается от уравнений Гамильтона. Алгебра, определённая таким образом, обозначается (a,b)F или просто (a,b). Если F имеет характеристику 2, возможно и другое явное описание через базис из 4 элементов, но в любом случае определение кватернионной алгебры над F как 4-мерной центральной простой алгебры над F остаётся единообразным для всех характеристик. Кватернионная алгебра (a,b)F является либо алгеброй делений, либо изоморфна матричной алгебре 2 × 2 матриц над F; последний случай называется расщеплённым. Норма
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
определяет структуру алгебры делений тогда и только тогда, когда норма является анизотропной квадратичной формой, то есть обращается в нуль только на нулевом элементе. Коника C(a,b), заданная уравнением
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
имеет точку (x,y,z) с координатами в F в расщеплённом случае.
where a and b are any given nonzero elements of F. From these rules we get:
The classical instances where are Hamilton's quaternions (a = b = −1) and split quaternions (a = −1, b = +1). In split quaternions, and , differing from Hamilton's equations. The algebra defined in this way is denoted (a,b)F or simply (a,b). When F has characteristic 2, a different explicit description in terms of a basis of 4 elements is also possible, but in any event the definition of a quaternion algebra over F as a 4 dimensional central simple algebra over F applies uniformly in all characteristics. A quaternion algebra (a,b)F is either a division algebra or isomorphic to the matrix algebra of 2 × 2 matrices over F; the latter case is termed split. The norm form
defines a structure of division algebra if and only if the norm is an anisotropic quadratic form, that is, zero only on the zero element. The conic C(a,b) defined by
has a point (x,y,z) with coordinates in F in the split case.
Применение
Кватернионные алгебры применяются в теории чисел, в частности, к квадратичным формам. Это конкретные структуры, порождающие элементы второго порядка в группе Брауэра поля F. Для некоторых полей, включая алгебраические числовые поля, каждый элемент порядка 2 в их группе Брауэра представляется кватернионной алгеброй. Теорема Александра Меркурьева утверждает, что каждый элемент порядка 2 в группе Брауэра любого поля представляется тензорным произведением кватернионных алгебр. В частности, над p-адическими полями построение кватернионных алгебр можно интерпретировать как квадратичный символ Гильберта в локальной теории поля классов.
Кватернионная алгебра над рациональными числами
Квартернионные алгебры над рациональными числами обладают арифметической теорией, аналогичной, но более сложной, чем у квадратичных расширений. Пусть – кватернионная алгебра над и пусть – место в , с завершением (то есть это либо p-адические числа для некоторого простого числа p, либо вещественные числа). Определим , которая является кватернионной алгеброй над . Таким образом, существует два варианта для : матрицы 2 × 2 над или алгебра делений. Мы говорим, что расщеплена (или неразветвлена) в если изоморфна матрицам 2 × 2 над . Мы говорим, что B нерасщеплена (или разветвлена) в если является кватернионной алгеброй делений над . Например, рациональные кватернионы Гамильтона нерасщеплены в 2 и в и расщеплены во всех нечетных простых числах. Рациональные матрицы 2 × 2 расщеплены во всех местах. Квартернионная алгебра над рациональными числами, которая расщепляется в , аналогична действительному квадратичному полю, а нерасщепленная в – аналогична мнимому квадратичному полю. Аналогия проистекает из того, что квадратичное поле имеет действительные вложения, когда минимальный многочлен для образующего расщепляется над действительными числами, и недействительные вложения в противном случае. Одним из примеров силы этой аналогии является рассмотрение групп единиц в порядке рациональной кватернионной алгебры: она бесконечна, если кватернионная алгебра расщепляется в , и конечна в противном случае, точно так же, как группа единиц порядка в квадратичном кольце бесконечна в действительном квадратичном случае и конечна в противном случае. Количество мест, где кватернионная алгебра над рациональными числами разветвляется, всегда четно, и это эквивалентно закону квадратичной взаимности над рациональными числами. Более того, места, где B разветвляется, однозначно определяют B с точностью до изоморфизма как алгебру. (Иными словами, неизоморфные кватернионные алгебры над рациональными числами не имеют одного и того же набора разветвленных мест.) Произведение простых чисел, в которых B разветвляется, называется дискриминантом B.
Let be a quaternion algebra over and let be a place of , with completion (so it is either the p adic numbers for some prime p or the real numbers ). Define , which is a quaternion algebra over So there are two choices for
: the 2 × 2 matrices over or a division algebra. We say that is split (or unramified) at if is isomorphic to the 2 × 2 matrices over We say that B is non split (or ramified) at if is the quaternion division algebra over For example, the rational Hamilton quaternions is non split at 2 and at and split at all odd primes. The rational 2 × 2 matrices are split at all places. A quaternion algebra over the rationals which splits at is analogous to a real quadratic field and one which is non split at is analogous to an imaginary quadratic field. The analogy comes from a quadratic field having real embeddings when the minimal polynomial for a generator splits over the reals and having non real embeddings otherwise. One illustration of the strength of this analogy concerns unit groups in an order of a rational quaternion algebra:
it is infinite if the quaternion algebra splits at and it is finite otherwise, just as the unit group of an order in a quadratic ring is infinite in the real quadratic case and finite otherwise. The number of places where a quaternion algebra over the rationals ramifies is always even, and this is equivalent to the quadratic reciprocity law over the rationals. Moreover, the places where B ramifies determines B up to isomorphism as an algebra. (In other words, non isomorphic quaternion algebras over the rationals do not share the same set of ramified places.) The product of the primes at which B ramifies is called the discriminant of B.