Кіріспе

Алгебралық геометриядағы математикалық ұғым. Алгебралық геометрияда, алгебралық түрдың V функциялық өрісі V-дегі рационалды функциялар ретінде қарастырылатын объектілерден құралады. Классикалық алгебралық геометрияда олар полиномдардың қатынастары, күрделі геометрияда – мероморфтық функциялар және олардың жоғары өлшемді аналогтары, ал қазіргі алгебралық геометрияда – кейбір бөлу сақинасының бөлшектер өрісінің элементтері болып табылады.

Күрделі коллекторлардың анықтамасы

Күрделі геометрияда зерттеу нысандары күрделі аналитикалық сорттар болып табылады, олардың үстінде күрделі талдаудың жергілікті түсінігі бар, осы арқылы мероморфтық функцияларды анықтауға болады. Сорттың функциялық денені құрайтыны – сорттағы барлық мероморфтық функциялар жиыны. (Барлық мероморфтық функциялар сияқты, олар да мәндерін алады.) Функцияларды қосу және көбейту амалдарымен бірге, бұл алгебралық мағынадағы өріс болып табылады. Риман сферасы, яғни күрделі сандар үстіндегі сорт үшін, жаһандық мероморфтық функциялар – рационалды функциялар (яғни күрделі полиномдық функциялардың қатынастары).

Алгебралық геометриядағы конструкция

Классикалық алгебралық геометрияда біз екінші көзқарасты жалпылаймыз. Риман сферасы үшін жоғарыда айтылғандай, полином түсінігі жаһандық түрде анықталмайды, ол тек аффиндік координаттар диаграммасына қатысты, атап айтқанда, күрделі жазықтықтан (сфераның солтүстік полюсінен басқа) тұратын диаграммаға қатысты анықталады. Кез келген алгебралық қисық V үшін, U ашық аффиндік жиынтықтағы рационалды функция U-дың аффиндік координаттар сақинасындағы екі полиномның қатынасы ретінде анықталады, ал V-ның барлық рационалды функциясы ашық аффиндік жиындардың қиылысында сәйкес келетін мұндай жергілікті мәліметтерден тұрады. V функциясының өрісін кез келген ашық аффиндік жиынның аффиндік координаттар сақинасының бөлшектер өрісі деп анықтауға болады, себебі мұндай барлық жиын тығыз.

Өз бетімен жасалған схемаға жалпылау

Ең жалпы жағдайда, қазіргі заманғы схема теориясында, біз жоғарыдағы соңғы көзқарасқа бастау ретінде жүгінеміз. Яғни, егер схема интегралды болса, онда оның әрбір ашық аффинді кіші жиыны үшін қималар сақинасы интегралды домен болып табылады, демек, ол бөлшектер өрісіне ие. Бұдан әрі, олардың барлығы бірдей екені және барлығы схеманың жалпы нүктесінің тұқымына тең екені расталады. Осылайша, схеманың функциялық өрісі – оның жалпы нүктесінің тұқымы. Бұл көзқарас функциялық өріс (схема теориясы) еңбегінде одан әрі дамытылады. Қараңыз.

Функция өрісінің геометриясы

Егер V – K өрісінде анықталған сорт болса, онда K(V) функциялық өрісі K негізгі өрісінің шекті түрде жасалған кеңейтілуі болып табылады; оның трансценденттік дәрежесі сорттың өлшеміне тең. K өрісінің K үстінен өріс ретінде шекті түрде жасалған барлық кеңейтілулері осылайша қандай да бір алгебралық сорттан туындайды. Бұл өріс кеңейтімдері K үстінен алгебралық функциялық өрістер деп те аталады. Функциялық өріске ғана тәуелді V сортының қасиеттері бирационалды геометрияда зерттеледі.

Мысалдар

К үстіндегі нүктенің функциялық өрісі К-ға тең.

К үстіндегі аффинді түзудің функциялық өрісі бір айнымалыдағы рационалды функциялар өрісі K(t)-ға изоморфты. Бұл проективті түзудің де функциялық өрісі. Теңдеумен анықталған аффиндік алгебралық жазықтық қисығын қарастырайық. Оның функциялық өрісі – K-ге трансцендентті және алгебралық қатынасты қанағаттандыратын x және y элементтерімен туындыланған K(x,y) өрісі.