Введение

Математическая концепция в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии поле функций алгебраического многообразия V состоит из объектов, которые интерпретируются как рациональные функции на V. В классической алгебраической геометрии они представляются в виде отношений многочленов; в комплексной геометрии – это мероморфные функции и их аналоги в более высоких размерностях; в современной алгебраической геометрии они являются элементами поля частных некоторого кольца частных.

Определение сложных коллекторов

В сложной геометрии объектами исследования являются комплексные аналитические многообразия, на которых существует локальное понятие комплексного анализа, посредством которого можно определить мероморфные функции. Поле функций многообразия — это множество всех мероморфных функций на этом многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают значения в ℂ.) Вместе с операциями сложения и умножения функций, это является полем в смысле алгебры. Для сферы Римана, которая является многообразием над комплексными числами, глобальные мероморфные функции совпадают с рациональными функциями (то есть отношениями комплексных полиномиальных функций).

Конструкция в алгебраической геометрии

В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана, как было показано выше, понятие многочлена не определено глобально, а лишь относительно аффинной координатной окрестности, а именно той, которая состоит из комплексной плоскости (все точки, кроме северного полюса сферы). Для общего многообразия V рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U, а рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые согласованны на пересечениях открытых аффинных подмножеств. Поле функций многообразия V можно определить как поле дробей аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Обобщение на произвольную схему

В наиболее общем случае, в современной теории схем, мы принимаем последнюю из вышеупомянутых точек зрения за отправную. А именно, если – интегральная схема, то для каждого открытого аффинного подмножества кольцо сечений на является целостным доменом и, следовательно, имеет поле частных. Более того, можно проверить, что все они совпадают и равны стеблю универсальной точки . Таким образом, поле функций схемы – это просто стебель её универсальной точки. Эта точка зрения развивается в теории полей функций (теории схем). См. .

Геометрия поля функций

Если V – алгебраическое многообразие, заданное над полем K, то поле функций K(V) является конечно порожденным расширением базового поля K; его степень трансцендентности равна размерности многообразия. Любое конечно порожденное расширение K как поля над K возникает таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Такие расширения поля также называются полями алгебраических функций над K. Свойства многообразия V, которые зависят только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии.

Примеры

Поле функций точки над K — это K.

Поле функций аффинной прямой над K изоморфно полю K(t) рациональных функций в одной переменной. Это также поле функций проективной прямой. Рассмотрим аффинную алгебраическую плоскостную кривую, заданную уравнением. Ее поле функций — это поле K(x, y), порожденное элементами x и y, которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению.