Есептеу сұйықтық динамикасында сандық таралу мәселесі
Numerical diffusion
Сандық диффузия: Еңбектердегі сұйықтықтарды модельдеудегі қателік. Дискреттендіру салдарынан физикалық жүйеден артық таралу пайда болады. CFD, сандық модельдеу.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Есептеу гидродинамикасындағы артефакт
Artifact in computational fluid dynamics
Сандық диффузия – үздіксіз ортаны (мысалы, сұйықтықтарды) компьютерлік модельдеуде туындайтын қиындық, онда модельдеу ортасы нақты ортаға қарағанда жоғары диффузиялық қасиеттер көрсетеді. Бұл құбылыс, әсіресе жүйе мүлдем диффузиялық болмауы тиіс жағдайларда айқын байқалады, мысалы, сандық модельде қандай да бір артық тұтқырлыққа ие болатын идеалдық сұйықтық.
Numerical diffusion is a difficulty with computer simulations of continua (such as fluids) wherein the simulated medium exhibits a higher diffusivity than the true medium. This phenomenon can be particularly egregious when the system should not be diffusive at all, for example an ideal fluid acquiring some spurious viscosity in a numerical model.
Түсіндірме
Эулеровтік симуляцияларда уақыт пен кеңістік дискретті торға бөлінеді және қозғалыстың үздіксіз дифференциалдық теңдеулері (мысалы, Навье-Стокстің теңдеуі) шекті айырма теңдеулеріне түрлендіріледі. Дискретті теңдеулер көбінесе бастапқы дифференциалдық теңдеулерге қарағанда жоғары диффузиялық болады, сондықтан симуляцияланған жүйе күтілген физикалық жүйеден өзгеше жұмыс істейді. Осы айырманың шамасы мен сипаты симуляцияланатын жүйеге және қолданылған дискреттеу түріне байланысты. Көптеген сұйықтық динамикасы немесе магнитогидродинамикалық симуляциялар сандық диффузияны ең төменгі деңгейге дейін азайтуға, жоғары дәлдікке қол жеткізуге тырысады, бірақ кейбір жағдайларда сингулярлықтарды болдырмау үшін диффузия жүйеге қасады түрде қосылады. Мысалы, сұйықтықтардағы соққы толқындары мен плазмадағы ток жапырақтары кейбір жуықтауларда шексіз жұқа болады; бұл сандық кодтар үшін қиындықтар тудыруы мүмкін. Осы қиындықтан құтылудың қарапайым жолы – соққы толқынын немесе ток жапырағын тегістейтін диффузияны қосу. Жоғары ретті сандық әдістер (спектрлік әдістерді қоса алғанда) төмен ретті әдістерге қарағанда азырақ сандық диффузияға ие болады.
In Eulerian simulations, time and space are divided into a discrete grid and the continuous differential equations of motion (such as the Navier–Stokes equation) are discretized into finite difference equations. The discrete equations are in general more diffusive than the original differential equations, so that the simulated system behaves differently than the intended physical system. The amount and character of the difference depends on the system being simulated and the type of discretization that is used. Most fluid dynamics or magnetohydrodynamic simulations seek to reduce numerical diffusion to the minimum possible, to achieve high fidelity — but under certain circumstances diffusion is added deliberately into the system to avoid singularities. For example, shock waves in fluids and current sheets in plasmas are in some approximations infinitely thin; this can cause difficulty for numerical codes. A simple way to avoid the difficulty is to add diffusion that smooths out the shock or current sheet. Higher order numerical methods (including spectral methods) tend to have less numerical diffusion than low order methods.
Мысал
Сандық диффузияның мысалы ретінде, су арқылы таралатын жасыл бояу тамшысының уақыт бойынша тікелей есептеу үшін Эйлерлік симуляциясын қарастырайық. Егер су симуляциялық тор арқылы диагональ бойымен ағып жатса, онда бояуды ағынның нақты бағытында жылжыту мүмкін емес: әр уақыт қадамында симуляция ең жақсы жағдайда бояуды тік және көлденең бағыттарда ғана жылдыра алады. Бірнеше уақыт қадамынан кейін, бояу осы бүйірлік жылжудың нәтижесінде тор бойынша таралып кетеді. Бұл сандық эффект жоғары диффузия жылдамдығы түрінде көрінеді. Егер сандық диффузия импульс векторының компоненттеріне қатысты болса, ол сандық тұтқырлық деп аталады; ал магниттік өріске қатысты болса, сандық кедергі деп аталады. Су фазасындағы жоғары қысыммен жүктелген ауа көпіршігін (көк түс) қарастырайық. Судағы ауаның кеңеюі кезінде химиялық немесе термодинамикалық реакциялар болмағандықтан, симуляция барысында басқа (мысалы, қызыл немесе көк емес) фаза пайда болуы мүмкін емес. Бұл жеке фазалар арасындағы қателіктер сандық диффузияға негізделген және торды жіңіштендіру арқылы азайтылуы мүмкін.
As an example of numerical diffusion, consider an Eulerian simulation using an explicit time advance of a drop of green dye diffusing through water. If the water is flowing diagonally through the simulation grid, then it is impossible to move the dye in the exact direction of the flow: at each time step the simulation can at best transfer some dye in each of the vertical and horizontal directions. After a few time steps, the dye will have spread out through the grid due to this sideways transfer. This numerical effect takes the form of an extra high diffusion rate. When numerical diffusion applies to the components of the momentum vector, it is called numerical viscosity; when it applies to a magnetic field, it is called numerical resistivity. Consider a Phasefield problem with a high pressure loaded air bubble (blue) within a phase of water. Since there are no chemical or thermodynamical reactions during expansion of air in water there is no possibility to come up with another (i. e. non red or blue) phase during the simulation. These inaccuracies between single phases are based on numerical diffusion and can be decreased by mesh refining.