Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Артефакт в вычислительной гидродинамике
Artifact in computational fluid dynamics
Численная диффузия – это проблема, возникающая при компьютерном моделировании сред с непрерывными свойствами (таких как жидкости), когда имитируемая среда демонстрирует более высокую диффузионную способность, чем реальная среда. Это явление может быть особенно заметным, когда система не должна быть диффузионной по своей природе, например, когда идеальная жидкость приобретает некоторую кажущуюся вязкость в численной модели.
Numerical diffusion is a difficulty with computer simulations of continua (such as fluids) wherein the simulated medium exhibits a higher diffusivity than the true medium. This phenomenon can be particularly egregious when the system should not be diffusive at all, for example an ideal fluid acquiring some spurious viscosity in a numerical model.
Пояснение
В эйлеровых симуляциях время и пространство разделяются на дискретную сетку, а непрерывные дифференциальные уравнения движения (например, уравнение Навье-Стокса) дискретизируются в конечно-разностные уравнения. Дискретные уравнения, как правило, обладают большей диффузией, чем исходные дифференциальные уравнения, из-за чего поведение симулируемой системы отличается от поведения реальной физической системы. Степень и характер этого отличия зависят от моделируемой системы и используемого метода дискретизации. Большинство симуляций в области гидродинамики или магнитогидродинамики стремятся минимизировать численную диффузию для достижения высокой точности, однако в определенных случаях диффузия намеренно добавляется в систему для предотвращения возникновения сингулярностей. Например, ударные волны в жидкостях и токовые слои в плазме в некоторых приближениях имеют бесконечно малую толщину, что может вызывать трудности для численных алгоритмов. Простой способ решения этой проблемы – добавить диффузию, которая сглаживает ударную волну или токовый слой. Численные методы более высокого порядка (включая спектральные методы) обычно характеризуются меньшей численной диффузией, чем методы низкого порядка.
In Eulerian simulations, time and space are divided into a discrete grid and the continuous differential equations of motion (such as the Navier–Stokes equation) are discretized into finite difference equations. The discrete equations are in general more diffusive than the original differential equations, so that the simulated system behaves differently than the intended physical system. The amount and character of the difference depends on the system being simulated and the type of discretization that is used. Most fluid dynamics or magnetohydrodynamic simulations seek to reduce numerical diffusion to the minimum possible, to achieve high fidelity — but under certain circumstances diffusion is added deliberately into the system to avoid singularities. For example, shock waves in fluids and current sheets in plasmas are in some approximations infinitely thin; this can cause difficulty for numerical codes. A simple way to avoid the difficulty is to add diffusion that smooths out the shock or current sheet. Higher order numerical methods (including spectral methods) tend to have less numerical diffusion than low order methods.
Пример
В качестве примера численной диффузии рассмотрим эйлерово моделирование с использованием явной схемы временного шага для капли зеленого красителя, диффундирующего в воде. Если вода течет по диагонали относительно вычислительной сетки, то невозможно переместить краситель точно по направлению потока: на каждом шаге моделирования в лучшем случае можно перенести некоторое количество красителя в вертикальном и горизонтальном направлениях. После нескольких шагов краситель распространится по сетке из-за этого бокового переноса. Этот численный эффект проявляется в виде повышенной скорости диффузии. Когда численная диффузия применяется к компонентам вектора импульса, она называется численной вязкостью; когда она применяется к магнитному полю, она называется численным сопротивлением. Рассмотрим задачу фазового поля с пузырем воздуха (синего цвета) под высоким давлением внутри водной фазы. Поскольку при расширении воздуха в воде не происходит химических или термодинамических реакций, невозможно появление другой фазы (то есть не красной или синей) в ходе моделирования. Эти неточности в отображении отдельных фаз обусловлены численной диффузией и могут быть уменьшены за счет локального уплотнения сетки.
As an example of numerical diffusion, consider an Eulerian simulation using an explicit time advance of a drop of green dye diffusing through water. If the water is flowing diagonally through the simulation grid, then it is impossible to move the dye in the exact direction of the flow: at each time step the simulation can at best transfer some dye in each of the vertical and horizontal directions. After a few time steps, the dye will have spread out through the grid due to this sideways transfer. This numerical effect takes the form of an extra high diffusion rate. When numerical diffusion applies to the components of the momentum vector, it is called numerical viscosity; when it applies to a magnetic field, it is called numerical resistivity. Consider a Phasefield problem with a high pressure loaded air bubble (blue) within a phase of water. Since there are no chemical or thermodynamical reactions during expansion of air in water there is no possibility to come up with another (i. e. non red or blue) phase during the simulation. These inaccuracies between single phases are based on numerical diffusion and can be decreased by mesh refining.