Кіріспе
Комбинаторлық топтар теориясының құрылысы. Математикада HNN кеңейтімі – комбинаторлық топтар теориясының маңызды құрылысы. Грэм Хигман, Бернхард Нойман және Ханна Нойманның 1949 жылғы «Топтарды ендіру туралы теоремалар» атты мақаласында енгізілген, ол берілген G тобын G' тобына осылайша ендіреді, G тобының екі берілген изоморфты топшасы G' тобында біріне біржақты сәйкес келеді (берілген изоморфизм арқылы).
In mathematics, the HNN extension is an important construction of combinatorial group theory. Introduced in a 1949 paper Embedding Theorems for Groups by Graham Higman, Bernhard Neumann, and Hanna Neumann, it embeds a given group G into another group G' , in such a way that two given isomorphic subgroups of G are conjugate (through a given isomorphism) in G' .
Құрылыс
G тобын презентациясымен берілген топ деп атайық, және α – G тобының екі кіші тобы арасындағы изоморфизм болсын. t – S жиынына жатпайтын жаңа символ болсын және топты α-ға қатысты G тобының HNN кеңейтімі деп атаймыз. Алғашқы G тобы – құрылыстың негізгі тобы, ал H және K кіші топтары – байланысты кіші топтар болып табылады. Жаңа генератор t – тұрақты әріп деп аталады.
The group is called the HNN extension of G relative to α. The original group G is called the base group for the construction, while the subgroups H and K are the associated subgroups. The new generator t is called the stable letter.
Негізгі қасиеттері
Презентациясында G презентациясының барлық генераторлары мен қатынастары қамтылғандықтан, генераторларды сәйкестендіру арқылы туындайтын G-ден Higman-ға табиғи гомоморфизм бар. Хигман, Нейман және Нейман бұл морфизм инъективті екенін, яғни G-ді A-ға ендіретінін дәлелдеді. Салдарынан, берілген топтың екі изоморфты кіші тобы әрқашан кейбір үлкен топта конъюгацияланады; мұны көрсетуге ұмтылыс осы құрылыстың бастапқы себебі болды.
Бритонның леммасының салдары
HNN кеңейтулерінің ең негізгі қасиеттері Бритон леммасынан туындайды. Осы салдарлар келесі фактілерді қамтиды:
G-ден G-ге дейінгі табиғи гомоморфизм инъективті, сондықтан G-ді G-нің ішкі тобы ретінде қарастыруға болады. G-нің әрбір шекті ретті элементі G элементіне конъюгацияланады.
G-нің әрбір шекті ішкі тобы G-нің шекті ішкі тобымен конъюгацияланады.
Егер G-де қандай да бір бүтін n үшін де G немесе G-ге кірмейтін элемент болса, онда G екінші дәрежелі еркін топқа изоморфты ішкі топты қамтиды.
Every finite subgroup of is conjugate to a finite subgroup of G.
If contains an element such that is contained in neither nor for any integer , then contains a subgroup isomorphic to a free group of rank two.
Қолданылулары мен жалпылаулары
Алгебралық топологияға қолданылғанда, HNN кеңейтуі топологиялық кеңістік X-тің негізгі тобын құрастырады, ол f: X → X бейнелеуі арқылы өзіне "жабыстырылған" (мысалы, шеңбер үстіндегі беттік шоғырды қараңыз). Осылайша, HNN кеңейтулері өзін-өзі жабыстыратын кеңістіктің негізгі тобын сипаттайды, дәл Сейферт ван Кампен теоремасындағыдай, екі кеңістік X және Y жалғасқан ортақ қосалқы кеңістікте жабыстырылғандағы еркін өнімдер сияқты. Бұл екі құрылым кез келген дұрыс геометриялық жабыстырудың негізгі тобын сипаттауға мүмкіндік береді. Бұл Басс-Серр теориясына жалпыландырылып, ағаштарда әрекет ететін топтардың топтар графигінің негізгі топтарын құрастырады. HNN кеңейтулері Хигманның кіріктіру теоремасын дәлелдеуде маңызды рөл атқарады, ол әрбір шекті түрде жасалған рекурсивті топты шекті түрде берілген топқа гомоморфты түрде кіріктіруге болатынын көрсетеді. Алгоритмдік шешілмейтін сөздік проблемасы бар шекті түрде берілген топтың бар екендігі туралы Новиков-Бун теоремасының қазіргі заманғы дәлелдерінің көпшілігі де HNN кеңейтулерін кеңінен пайдаланады. HNN кеңейту идеясы абстрактілік алгебраның басқа салаларына, соның ішінде Ли алгебрасы теориясына таратылды.