Введение

Конструкция теории комбинаторных групп
В математике расширение HNN является важной конструкцией комбинаторной теории групп. Введенное в 1949 году в статье "Теоремы о вложениях для групп" Грэма Хигмана, Бернарда Неймана и Ханны Нейман, оно вкладывает заданную группу G в другую группу G', таким образом, что две заданные изоморфные подгруппы G становятся сопряженными (через заданный изоморфизм) в G'.

Строительство

Пусть G — группа с представлением , и пусть α — изоморфизм между двумя подгруппами G. Пусть t — новый символ, не входящий в S, и определим группу

Эта группа называется расширением HNN группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой для построения, а подгруппы H и K — ассоциированными подгруппами. Новый генератор t называется стабильным элементом.

Основные свойства

Поскольку представление для содержит все генераторы и отношения из представления для G, существует естественный гомоморфизм, индуцированный отождествлением генераторов, который отображает G в . Хигман, Нейман и Нейман доказали, что этот морфизм инъективен, то есть является вложением G в . Следствием этого является то, что две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе; стремление доказать это было первоначальной мотивацией для данного построения.

Последствия леммы Бриттана

Большинство основных свойств расширений HNN следует из леммы Бриттона. К этим следствиям относятся следующие факты:

Естественный гомоморфизм из G в инъективен, поэтому мы можем рассматривать как содержащее G в качестве подгруппы. Каждый элемент конечного порядка в сопряжен элементу из G.
Каждая конечная подгруппа сопряжена конечной подгруппе G.
Если содержит элемент x, такой что x не содержится ни в H, ни в K для любого целого числа n, то содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга два.

Применение и обобщение

Применяемое к алгебраической топологии, расширение HNN конструирует фундаментальную группу топологического пространства X, которое "приклеено" к себе посредством отображения f : X → X (см., например, расслоение над окружностью). Таким образом, расширения HNN описывают фундаментальную группу пространства, склеенного с самим собой, подобно тому, как свободные произведения с аффинной связностью описывают фундаментальную группу двух пространств X и Y, склеенных вдоль связного общего подпространства, как в теореме Зейферта — ван Кампена. Эти две конструкции позволяют описать фундаментальную группу любого разумного геометрического склеивания. Это обобщается в теории Басса — Серра для групп, действующих на деревья, что позволяет строить фундаментальные группы графов групп. Расширения HNN играют ключевую роль в доказательстве Хигманом теоремы о вложении Хигмана, утверждающей, что любая конечно порожденная рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно представленную группу. Большинство современных доказательств теоремы Новикова — Буна о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой о слове также в значительной степени используют расширения HNN. Идея расширения HNN была распространена на другие области абстрактной алгебры, включая теорию алгебр Ли.