Инвариантная мера фрактальной размерности

Введение

В математике размерность Хаусдорфа — это мера шероховатости, или, более конкретно, фрактальная размерность, введенная в 1918 году математиком Феликсом Хаусдорфом. Например, размерность Хаусдорфа одной точки равна нулю, отрезка прямой — 1, квадрата — 2 и куба — 3. То есть, для множеств точек, определяющих гладкую форму или форму с небольшим количеством углов — формы традиционной геометрии и науки — размерность Хаусдорфа является целым числом, согласующимся с обычным пониманием размерности, также известным как топологическая размерность. Однако были разработаны и формулы, позволяющие вычислить размерность других, менее простых объектов, где, исключительно на основе их свойств масштабирования и самоподобия, можно прийти к выводу, что определенные объекты, включая фракталы, имеют нецелые размерности Хаусдорфа. Благодаря значительным техническим достижениям, сделанным Абрамом Самойловичем Бесиковичем, позволившим вычислять размерности для сильно нерегулярных или "шероховатых" множеств, эта размерность также часто называется размерностью Хаусдорфа — Бесиковича. В более строгом смысле, размерность Хаусдорфа — это размерное число, связанное с метрическим пространством, то есть множеством, в котором определены расстояния между всеми его элементами. Размерность берется из расширенных действительных чисел, , в отличие от более интуитивного понятия размерности, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах. В математических терминах размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторного пространства. То есть, размерность Хаусдорфа n-мерного внутреннего пространства произведения равна n. Это лежит в основе предыдущего утверждения о том, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, прямой — единице и так далее, и что нерегулярные множества могут иметь нецелые размерности Хаусдорфа. Например, снежинка Коха, изображенная справа, построена из равностороннего треугольника; на каждой итерации составляющие отрезки прямой делятся на 3 отрезка единичной длины, вновь образованный средний отрезок используется в качестве основания нового равностороннего треугольника, направленного наружу, и этот базовый отрезок затем удаляется, оставляя конечный объект итерации единичной длины 4. То есть, после первой итерации каждый исходный отрезок прямой был заменен на N=4, где каждая самоподобная копия в 1/S = 1/3 раза короче оригинала. Это уравнение легко решается относительно D, давая отношение логарифмов (или натуральных логарифмов), встречающееся на рисунках, и приводящее — в случаях Коха и других фракталов — к нецелым размерностям для этих объектов. Размерность Хаусдорфа является преемником более простой, но обычно эквивалентной размерности счетного покрытия ящиками или размерности Минковского — Булигана.

In mathematics, Hausdorff dimension is a measure of roughness, or more specifically, fractal dimension, that was introduced in 1918 by mathematician Felix Hausdorff. For instance, the Hausdorff dimension of a single point is zero, of a line segment is 1, of a square is 2, and of a cube is 3. That is, for sets of points that define a smooth shape or a shape that has a small number of corners—the shapes of traditional geometry and science—the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the usual sense of dimension, also known as the topological dimension. However, formulas have also been developed that allow calculation of the dimension of other less simple objects, where, solely on the basis of their properties of scaling and self similarity, one is led to the conclusion that particular objects—including fractals—have non integer Hausdorff dimensions. Because of the significant technical advances made by Abram Samoilovitch Besicovitch allowing computation of dimensions for highly irregular or "rough" sets, this dimension is also commonly referred to as the Hausdorff–Besicovitch dimension. More specifically, the Hausdorff dimension is a dimensional number associated with a metric space, i. e. a set where the distances between all members are defined. The dimension is drawn from the extended real numbers, , as opposed to the more intuitive notion of dimension, which is not associated to general metric spaces, and only takes values in the non negative integers. In mathematical terms, the Hausdorff dimension generalizes the notion of the dimension of a real vector space. That is, the Hausdorff dimension of an n dimensional inner product space equals n. This underlies the earlier statement that the Hausdorff dimension of a point is zero, of a line is one, etc., and that irregular sets can have noninteger Hausdorff dimensions. For instance, the Koch snowflake shown at right is constructed from an equilateral triangle; in each iteration, its component line segments are divided into 3 segments of unit length, the newly created middle segment is used as the base of a new equilateral triangle that points outward, and this base segment is then deleted to leave a final object from the iteration of unit length of 4. That is, after the first iteration, each original line segment has been replaced with N=4, where each self similar copy is 1/S = 1/3 as long as the original. This equation is easily solved for D, yielding the ratio of logarithms (or natural logarithms) appearing in the figures, and giving—in the Koch and other fractal cases—non integer dimensions for these objects. The Hausdorff dimension is a successor to the simpler, but usually equivalent, box counting or Minkowski–Bouligand dimension.

Интуиция

Интуитивно понятие размерности геометрического объекта X – это количество независимых параметров, необходимых для выбора уникальной точки внутри него. Однако любую точку, заданную двумя параметрами, можно задать и одним, поскольку кардинальность реальной плоскости равна кардинальности реальной прямой (это можно увидеть, рассмотрев аргумент, включающий переплетение цифр двух чисел для получения одного числа, кодирующего ту же информацию). Пример кривой, заполняющей пространство, показывает, что можно даже отобразить реальную прямую на реальную плоскость сюръективно (отображая одно действительное число в пару действительных чисел таким образом, чтобы были покрыты все пары чисел) и непрерывно, так что одномерный объект полностью заполняет объект более высокой размерности. Каждая кривая, заполняющая пространство, попадает в некоторые точки несколько раз и не имеет непрерывного обратного отображения. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым образом. Топологическая размерность, также называемая размерностью покрытия Лебега, объясняет, почему это так. Эта размерность – наибольшее целое число n, такое, что при любом покрытии X малыми открытыми шарами найдется хотя бы одна точка, в которой перекрываются n + 1 шаров. Например, при покрытии прямой короткими открытыми интервалами некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размерность n = 1. Однако топологическая размерность – очень грубая мера локального размера пространства (размера вблизи точки). Кривая, почти заполняющая пространство, все равно может иметь топологическую размерность 1, даже если она заполняет большую часть площади области. Фрактал имеет целочисленную топологическую размерность, но с точки зрения занимаемого им пространства он ведет себя как пространство более высокой размерности. Размер Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства, учитывая расстояние между точками, метрику. Рассмотрим число N(r) шаров радиусом не более r, необходимых для полного покрытия X. Когда r очень мало, N(r) растет полиномиально с 1/r. Для достаточно хорошо себя ведущего X размер Хаусдорфа – это единственное число d, такое, что N(r) растет как 1/r<sup>d</sup> при стремлении r к нулю. Более точно, это определяет размерность ящиков, которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между скоростями роста, недостаточными для покрытия пространства, и скоростями роста, избыточными для этого. Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размер Хаусдорфа – целое число, совпадающее с топологической размерностью. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы, множества с нецелочисленными размерностями Хаусдорфа, встречаются повсюду в природе. Он заметил, что правильная идеализация большинства неровных форм, которые вы видите вокруг себя, заключается не в гладких идеализированных формах, а во фрактальных идеализированных формах: облака не являются сферами, горы не являются конусами, береговые линии не являются окружностями, а кора деревьев не гладкая, и молния не распространяется по прямой линии. Для фракталов, встречающихся в природе, размер Хаусдорфа и размерность ящиков совпадают. Размер упаковки – еще одна подобная концепция, которая дает то же значение для многих форм, но существуют хорошо задокументированные исключения, когда все эти размерности различаются.

The intuitive concept of dimension of a geometric object X is the number of independent parameters one needs to pick out a unique point inside. However, any point specified by two parameters can be instead specified by one, because the cardinality of the real plane is equal to the cardinality of the real line (this can be seen by an argument involving interweaving the digits of two numbers to yield a single number encoding the same information). The example of a space filling curve shows that one can even map the real line to the real plane surjectively (taking one real number into a pair of real numbers in a way so that all pairs of numbers are covered) and continuously, so that a one dimensional object completely fills up a higher dimensional object. Every space filling curve hits some points multiple times and does not have a continuous inverse. It is impossible to map two dimensions onto one in a way that is continuous and continuously invertible. The topological dimension, also called Lebesgue covering dimension, explains why. This dimension is the greatest integer n such that in every covering of X by small open balls there is at least one point where n + 1 balls overlap. For example, when one covers a line with short open intervals, some points must be covered twice, giving dimension n = 1. But topological dimension is a very crude measure of the local size of a space (size near a point). A curve that is almost space filling can still have topological dimension one, even if it fills up most of the area of a region. A fractal has an integer topological dimension, but in terms of the amount of space it takes up, it behaves like a higher dimensional space. The Hausdorff dimension measures the local size of a space taking into account the distance between points, the metric. Consider the number N(r) of balls of radius at most r required to cover X completely. When r is very small, N(r) grows polynomially with 1/r. For a sufficiently well behaved X, the Hausdorff dimension is the unique number d such that N(r) grows as 1/rd as r approaches zero. More precisely, this defines the box counting dimension, which equals the Hausdorff dimension when the value d is a critical boundary between growth rates that are insufficient to cover the space, and growth rates that are overabundant. For shapes that are smooth, or shapes with a small number of corners, the shapes of traditional geometry and science, the Hausdorff dimension is an integer agreeing with the topological dimension. But Benoit Mandelbrot observed that fractals, sets with noninteger Hausdorff dimensions, are found everywhere in nature. He observed that the proper idealization of most rough shapes you see around you is not in terms of smooth idealized shapes, but in terms of fractal idealized shapes:

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. For fractals that occur in nature, the Hausdorff and box counting dimension coincide. The packing dimension is yet another similar notion which gives the same value for many shapes, but there are well documented exceptions where all these dimensions differ.

Формальное определение

Формальное определение размерности Хаусдорфа достигается путем определения сначала d-мерной меры Хаусдорфа, являющейся аналогом меры Лебега для дробных размерностей. Сначала строится внешняя мера: пусть X – метрическое пространство. Если и ,

где инфимум берется по всем счетным покрытиям X, то d-мерная внешняя мера Хаусдорфа определяется как , а ограничение этого отображения на измеримые множества обосновывает его как меру, называемую d-мерной мерой Хаусдорфа.

Примеры

[[Изображение:Sierpinski deep.svg|мини|upright=1.2|Размерность еще одного фрактального примера. Треугольник Серпинского – объект с размерностью Хаусдорфа log(3)/log(2) ≈ 1.58. Евклидово пространство имеет размерность Хаусдорфа, а круг – размерность Хаусдорфа 1. Треугольник Серпинского представляет собой объединение трех копий самого себя, каждая из которых уменьшена в 1/2; это дает размерность Хаусдорфа ln(3)/ln(2) ≈ 1.58.
мини|upright=1.2|Оценка размерности Хаусдорфа побережья Великобритании.
Льюис Фрай Ричардсон провел детальные эксперименты для измерения приблизительной размерности Хаусдорфа различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для побережья Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании.

Самоподобные наборы

Многие множества, определяемые условием самоподобия, имеют размерности, которые можно определить явно. Приблизительно, множество E является самоподобным, если оно является неподвижной точкой преобразования, отображающего множества, ψ, то есть ψ(E) = E, хотя точное определение приведено ниже. Теорема. Пусть

каждое из них является сжимающим отображением на Rn с коэффициентом сжатия ri < 1. Тогда существует единственное непустое компактное множество A, такое, что

Доказательство теоремы следует из теоремы Стефана Банаха о сжимающих отображениях о неподвижной точке, применимой к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств Rn с метрикой Хаусдорфа.