Геометриялық топологиядағы Буземан функциялары және квазиизометриялар

Кіріспе

Геометриялық топологияда Буземанн функциялары Гадамар кеңістіктеріндегі геодезияның ірі масштабты геометриясын және әсіресе Гадамар манифольдтарын (жабайы байланысты, толық Римандық манифольдтар, оң емес қисықтығы бар) зерттеу үшін қолданылады. Олар оларды енгізген Герберт Буземаннның құрметіне аталған; ол 1955 жылы шығарған «Геодезия геометриясы» кітабында осы тақырыпты жан-жақты қарастырды.

Громовтың Понкаре дискісі туралы дәлелі

Морзе леммасының CAT(1) кеңістікке жалпылануы көбінесе Морзе–Мостоу леммасы деп аталады және классикалық дәлелдеменің тікелей жалпылануы арқылы дәлелденуге болады. Громовтың гиперболалық метрикалық кеңістіктердің кеңірек класы үшін де жалпылау бар. Громовтың дәлелі Поанкаре бірлік дискісі үшін төменде келтірілген; гиперболалық метрикалық кеңістіктердің қасиеттері дәлел барысында дамытылады, сондықтан ол CAT(1) немесе гиперболалық метрикалық кеңістіктерге сәйкес өзгерістермен қолданылады. Алдында, жапон математигі Акира Мори өзінің жарық көрмеген еңбегінде, Теичмюллер теориясы аясында, дискінің кез келген квазиконформды гомеоморфизмі Хёлдер үздіксіз екенін және демек, бірлік шеңбердің гомеоморфизміне үздіксіз кеңейтілетінін дәлелдеген (осы кеңейтім квази-Мёбиус екені белгілі).

Квази-изометрияны шекараға дейін кеңейту

Егер X – Пуанкаре бірлік дискісі немесе жалпы CAT(1) кеңістігі болса, квазигеодезиялықтардың тұрақтылығы туралы Морзе леммасы X-тің кез келген квазиизометриясы шекараға бірегей түрде кеңейтіледі. Анықтама бойынша, егер supX d(f(x), g(x)) < ∞ болса, X-тің екі өзіндік бейнелеуі f және g квазиэквивалент болады, яғни сәйкес нүктелер бір-бірінен біркелкі шектелген қашықтықта жатады. X-тің f1 квазиизометриясы – X-тің өзіндік бейнелеуі, міндетті түрде үздіксіз емес, және оның квазикернеуі f2 бар, сонда f1 ∘ f2 және f2 ∘ f1 тиісті сәйкестік бейнелеулеріне квазиэквивалент, және λ ≥ 1 және ε > 0 тұрақтылары бар, сондықтан X-тің кез келген x, y және екі бейнелеуі үшін.

Ескеріңіз, квазикернеулер квазиэквиваленттылыққа дейін бірегей; эквивалентті анықтама әртүрлі оң және сол жақ квазикернеулерді қолдана отырып берілуі мүмкін, бірақ олар міндетті түрде квазиэквивалент болады; квазиизометриялар құрамында жабық, және квазиэквиваленттылыққа дейін тек квазиэквиваленттылық сыныптарына ғана тәуелді; және квазиэквиваленттылық модулі бойынша квазиизометриялар топты құрайды. X-тегі x нүктесін бекітіп, x-тен басталатын γ геодезиялық сәуле берілген болса, квазиизометрия f астындағы f ∘ γ суреті квазигеодезиялық сәуле болады. Морзе-Мостоу леммасы бойынша, ол x нүктесінен басталатын бірегей геодезиялық δ сәулесінен шектелген қашықтықта жатады. Бұл ∂X, X шекарасындағы ∂f бейнелеуін анықтайды, ол f-тің квазиэквивалент сыныбына тәуелсіз, және 1 = ∂(f ∘ g) = ∂f ∘ ∂g. Осылайша, квазиизометриялар тобынан ∂X өзіндік бейнелеулер тобына гомоморфизм бар. ∂f үздіксіз екенін тексеру үшін, егер γ1 және γ2 [0,R] аралығында біркелкі жақын геодезиялық сәулелер болса, онда олардың арақашықтығы η болса, f ∘ γ1 және f ∘ γ2 [0,R] аралығында λη + ε арақашықтығында жатады, сондықтан δ1 және δ2 аралығында λη + ε + 2h(λ,ε арақашықтығында жатады; демек, кішігірім [0,r] аралығында δ1 және δ2 (r/R)⋅[λη + ε + 2h(λ,ε)] арақашықтығында жатады, себебі дөңес. CAT(1) кеңістіктерінде, сабақтастылықтың нақтырақ нұсқасы ∂f – ∂X-тегі табиғи метрикалық сыныпқа қатысты квази-Мёбиус бейнелеуі, "визуалды метрикалар" бірлік шеңбердегі және Мёбиус тобындағы оның трансформацияларындағы Евклидтік метриканы жалпылайды. Бұл визуалды метрикалар Буземан функциялары арқылы анықталуы мүмкін. Бірлік дискі жағдайында, Тейхмюллер теориясы гомоморфизм дискінің квазиконформды бейнелеулерін шеңбердің квази-Мёбиус бейнелеулер тобына (мысалы, Альфорс-Бёрлинг немесе Дуади-Эрл кеңейтімі) жіберетінін білдіреді: бұл гомоморфизм квазиизометрия тобынан квази-Мёбиус тобына сюръективті екенін көрсетеді. Керісінше, гомоморфизм инъективті екенін дәлелдеу оңай. f – бірлік дискінің квазиизометриясы болсын, сонда ∂f сәйкестік. Бұл болжам және Морзе леммасы γ(R) геодезиялық сызық болса, онда f(γ(R)) γ(R) h-көршілігінде жатады дегенді білдіреді. Енді δ геодезиялық сызығын алыңыз, онда δ және γ a нүктесінде ортогональды түрде қиылысады. Онда f(a) δ және γ h-көршіліктерінің қиылысында жатады. Мёбиус түрлендіруін қолдану арқылы, a нүктесі бірлік дискінің басында және геодезиялар нақты және жолғары осьтер деп болжауға болады. Дөңестік бойынша, осы осьтердің h-көршіліктері бастапқы нүктеге 3h-көршілікте қиылысады: егер z екі көршілікте де болса, x және y z-тің x және y осьтеріне ортогональды проекциялары болсын; сонда d(z,x) ≤ h, сондықтан y осіне проекция жасасақ, d(0,y) ≤ h; демек, d(z,0) ≤ d(z,y) + d(y,0) ≤ 2h. Демек, d(a,f(a)) ≤ 2h, сондықтан f сәйкестікке квазиэквивалент, демек, дәлелделді.

Note that quasi inverses are unique up to quasi equivalence; that equivalent definition could be given using possibly different right and left quasi inverses, but they would necessarily be quasi equivalent; that quasi isometries are closed under composition which up to quasi equivalence depends only the quasi equivalence classes; and that, modulo quasi equivalence, the quasi isometries form a group. Fixing a point x in X, given a geodesic ray γ starting at x, the image f ∘ γ under a quasi isometry f is a quasi geodesic ray. By the Morse Mostow lemma it is within a bounded distance of a unique geodesic ray δ starting at x. This defines a mapping ∂f on the boundary ∂X of X, independent of the quasi equivalence class of f, such that 1=∂(f ∘ g) = ∂f ∘ ∂g. Thus there is a homomorphism of the group of quasi isometries into the group of self mappings of ∂X. To check that ∂f is continuous, note that if γ1 and γ2 are geodesic rays that are uniformly close on [0,R], within a distance η, then f ∘ γ1 and f ∘ γ2 lie within a distance λη + ε on [0,R], so that δ1 and δ2 lie within a distance λη + ε + 2h(λ,ε); hence on a smaller interval [0,r], δ1 and δ2 lie within a distance (r/R)⋅[λη + ε + 2h(λ,ε)] by convexity. On CAT( 1) spaces, a finer version of continuity asserts that ∂f is a quasi Möbius mapping with respect to a natural class of metric on ∂X, the "visual metrics" generalising the Euclidean metric on the unit circle and its transforms under the Möbius group. These visual metrics can be defined in terms of Busemann functions. In the case of the unit disk, Teichmüller theory implies that the homomorphism carries quasiconformal homeomorphisms of the disk onto the group of quasi Möbius homeomorphisms of the circle (using for example the Ahlfors–Beurling or Douady–Earle extension): it follows that the homomorphism from the quasi isometry group into the quasi Möbius group is surjective. In the other direction, it is straightforward to prove that the homomorphism is injective. Suppose that f is a quasi isometry of the unit disk such that ∂f is the identity. The assumption and the Morse lemma implies that if γ('R') is a geodesic line, then f(γ('R')) lies in an h neighbourhood of γ('R'). Now take a second geodesic line δ such that δ and γ intersect orthogonally at a given point in a. Then f(a) lies in the intersection of h neighbourhoods of δ and γ. Applying a Möbius transformation, it can be assumed that a is at the origin of the unit disk and the geodesics are the real and imaginary axes. By convexity, the h neighbourhoods of these axes intersect in a 3h neighbourhood of the origin: if z lies in both neighbourhoods, let x and y be the orthogonal projections of z onto the x and y axes; then 1=d(z,x) ≤ h so taking projections onto the y axis, 1=d(0,y) ≤ h; hence 1=d(z,0) ≤ d(z,y) + d(y,0) ≤ 2h. Hence 1=d(a,f(a)) ≤ 2h, so that f is quasi equivalent to the identity, as claimed.

Көлденең қатынас және геодезиялық сызықтардың қиылыспауы арасындағы қашықтық

Бірлік шеңберде немесе нақты осьте екі ерекше нүкте z, w берілген болса, оларды біріктіретін бірегей гиперболалық геодезиялық [z,w] бар. Ол бірлік шеңберді немесе нақты осьті сол екі нүктеде ортогональды қиып өтетін шеңбермен (немесе тура сызықпен) беріледі. Егер g – күрделі Мёбиус түрлендіруі болса, онда ол қима қатынасын өзгермейтін қалдырады: (g(a), g(b); g(c), g(d)) = (a, b; c, d). Мёбиус тобы жай ғана нүктелердің үштіктеріне транзитивті әрекет ететіндіктен, қима қатынасын күрделі сан z ретінде сипаттауға болады, мұнда g(a) = 0, g(b) = 1, g(c) = λ, g(d) = ∞ Мёбиус түрлендіруі g үшін. a, b, c және d қима қатынасын анықтайтын шанышқыда пайда болғандықтан, a, b, c және d пермутациялары бойынша қима қатынасының мінез-құлқын түсіну үшін d-ді бекітетін, сондықтан a, b және c-ді ғана өзгертетін пермутацияларды қарастыру жеткілікті. Қима қатынасы λ-ді 1 – λ және λ^(-1) деп жіберген Мёбиус түрлендірулері арқылы пайда болған 6-реттік агармониялық топқа сәйкес түрленеді. Қалған үш түрлендіру λ-ді 1 – λ^(-1), λ(λ – 1)^(-1) және (1 – λ)^(-1) -ге жібереді. Енді a, b, c, d бірлік шеңбердегі нүктелер болсын немесе нақты ось осы ретпен. Бұл жағдайда [a,b] және [c,d] геодезиялық қиылыстары қиылыспайды және осы геодезиялық қиылыстардың арасындағы қашықтық жақсы анықталады: осы екі геодезиялық қиылыстарды ортогональды кесуші бірегей геодезиялық сызық бар және қашықтық олардың арасындағы геодезиялық сегменттің ұзындығымен беріледі. Ол нақты Мёбиус түрлендірулері кезінде өзгермейтін болып табылады. Крес қатынасы мен геодезиялық арақашықтықты салыстыру үшін Мёбиус инварианты есептеуді симметриялық конфигурацияға дейін азайтуға мүмкіндік береді. 0 < r < R үшін a = –R, b = −r, c = r, d = R. Содан кейін λ = (a,b;c,d) = (R + r)^(2)/4rR = (t + 1)^(2)/4t мұндағы t = R/r > 1. Екінші жағынан, [a,d] және [b,c] геодезиялық радиусы r және R-дің жоғарғы жартысы жазықтықтағы жарты шеңберлер болып табылады. Оларды ортогональды кесуші геодезиялық оң қиял осін құрайды, сондықтан олардың арасындағы қашықтық ir және iR арасындағы гиперболалық қашықтық болып табылады, d(ir,iR) = log R/r = log t. s = log t десек, λ = cosh^(2)(s/2), сондықтан C > 0 тұрақтысы бар, егер (a,b;c,d) > 1 болса, онда log[cosh(x)/exp(x)] = log (1 + exp(-2x))/2 x ≥ 0-де жоғары және төмен шектеледі. (a, b, c, d) бірлік шеңбердің айналасында егер (a, b, c, d) > 1 болса ғана реттелгенін ескеріңіз. Көлденең қатынастың жалпы және нақты геометриялық түсіндіруін геодезиялық сызыққа идеалдық нүктелердің проекцияларын пайдалану арқылы беруге болады; ол шеңбердегі нүктелердің ретінен және сондықтан геодезиялық сызықтардың қиылысу-қиылыспауына байланысты емес. Егер p және q - c және d-ден ab геодезиялық түзуге перпендикулярлардың табаны болса, онда екі жағы да Мёбиус түрлендірулері бойынша инвариант болғандықтан, a = 0, b = ∞, c = x және d = 1 жағдайында оны тексеру жеткілікті. Бұл жағдайда геодезиялық сызық оң қиял осін құрайды, оң жағы тең , ал q = i. Сол жағы тең. p және q - бұл идеалдық үшбұрыштар abc және abd шеңберлерінің ab-ге жанасатын нүктелері.

Given two distinct points z, w on the unit circle or real axis there is a unique hyperbolic geodesic [z,w] joining them. It is given by the circle (or straight line) which cuts the unit circle unit circle or real axis orthogonally at those two points. Given four distinct points a, b, c, d in the extended complex plane their cross ratio is defined by

If g is a complex Möbius transformation then it leaves the cross ratio invariant: 1=(g(a),g(b);g(c),g(d)) = (a,b:c,d). Since the Möbius group acts simply transitively on triples of points, the cross ratio can alternatively be described as the complex number z in such that 1=g(a) = 0, g(b) = 1, g(c) = λ, g(d) = ∞ for a Möbius transformation g.

Since a, b, c and d all appear in the numerator defining the cross ratio, to understand the behaviour of the cross ratio under permutations of a, b, c and d, it suffices to consider permutations that fix d, so only permute a, b and c. The cross ratio transforms according to the anharmonic group of order 6 generated by the Möbius transformations sending λ to 1 – λ and λ^(−1). The other three transformations send λ to 1 – λ^(−1), to λ(λ – 1)^(−1) and to (1 – λ)^(−1). Now let a, b, c, d be points on the unit circle or real axis in that order. Then the geodesics [a,b] and [c,d] do not intersect and the distance between these geodesics is well defined: there is a unique geodesic line cutting these two geodesics orthogonally and the distance is given by the length of the geodesic segment between them. It is evidently invariant under real Möbius transformations. To compare the cross ratio and the distance between geodesics, Möbius invariance allows the calculation to be reduced to a symmetric configuration. For 0 < r < R, take 1=a = –R, b = −r, c = r, d = R. Then
1=λ = (a,b;c,d) = (R + r)^(2)/4rR = (t + 1)^(2)/4t where 1=t = R/r > 1. On the other hand, the geodesics [a,d] and [b,c] are the semicircles in the upper half plane of radius r and R. The geodesic which cuts them orthogonally is the positive imaginary axis, so the distance between them is the hyperbolic distance between ir and iR, 1=d(ir,iR) = log R/r = log t. Let 1=s = log t, then 1=λ = cosh^(2)(s/2), so that there is a constant C > 0 such that, if (a,b;c,d) > 1, then

since 1=log[cosh(x)/expx)] = log (1 + exp(–2x))/2 is bounded above and below in x ≥ 0. Note that a, b, c, d are in order around the unit circle if and only if (a,b;c,d) > 1. A more general and precise geometric interpretation of the cross ratio can be given using projections of ideal points on to a geodesic line; it does not depend on the order of the points on the circle and therefore whether or not geodesic lines intersect. If p and q are the feet of the perpendiculars from c and d to the geodesic line ab, then
Since both sides are invariant under Möbius transformations, it suffices to check this in the case that 1=a = 0, 1=b = ∞, 1=c = x and 1=d = 1. In this case the geodesic line is the positive imaginary axis, right hand side equals , and 1=q = i. So the left hand side equals Note that p and q are also the points where the incircles of the ideal triangles abc and abd touch ab.

CAT ((-1) кеңістіктер үшін Буземан функциялары мен визуалды метрикалар

Буземан функциялары CAT(1) кеңістіктері класындағы арнайы визуалды метрикаларды анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл – геодезиялық үшбұрыштың шекарасындағы нүктелер арасындағы қашықтықтар гиперболалық жоғарғы жарты жазықтықтағы немесе Пуанкаре метрикасымен жабдықталған бірлік дискідегі сәйкес үшбұрышқа тең немесе одан кем болатын толық геодезиялық метрикалық кеңістік. Бірлік дискі жағдайында хордалық метриканы Буземан функциялары Bγ арқылы тікелей қалпына келтіруге болады, ал дискіге арналған арнайы теория кез келген дұрыс CAT(1) кеңістігі X-ке толыққанды жалпыланады. Гиперболалық жоғарғы жарты жазықтық – CAT(0) кеңістігі болып табылады, себебі гиперболалық геодезиялық үшбұрыштағы ұзындықтар Эвклидтік сәйкес үшбұрыштағы ұзындықтардан кем: атап айтқанда, CAT(1) кеңістігі – CAT(0) кеңістігі, сондықтан Буземан функцияларының теориясы және Громов шекарасы қолданылады. Гиперболалық дискінің теориясынан, CAT(1) кеңістігіндегі әрбір геодезиялық сәуленің геодезиялық түзуге дейін созылатыны және шекарадағы екі нүкте берілген жағдайда, осы нүктелер γ(±∞) шектері болатын бірегей геодезиялық γ бар екендігі шығады. Теория кез келген CAT(-κ) кеңістігіне де бірдей қолданылады, мұнда κ > 0, себебі олар CAT(1) кеңістігіндегі метриканы κ^(-1/2) көбейткішімен масштабтау арқылы пайда болады. Гиперболалық бірлік дискі D-де, D-нің квазиизометриялары шекарадағы квази-Мёбиус гомеоморфизмдерін функционалды түрде туындайды. Громов гиперболалық кеңістіктерінің әлдеқайда жалпы теориясы бар, соған ұқсас тұжырым бар, бірақ шекараның гомеоморфизмдерін толық бақылау деңгейі төмен. және бағытталған соңғы өткел ағыны.