Введение
В геометрической топологии функции Буземана используются для изучения крупномасштабной геометрии геодезических в пространствах Адамара и, в частности, в гадамаровых многообразиях (просто связных полных римановых многообразиях с неположительной кривизной). Они названы в честь Герберта Буземана, который впервые их ввёл; он подробно рассмотрел эту тему в своей книге 1955 года «Геометрия геодезических».
Доказательство Громова для диска Понкаре
Обобщение леммы Морса на пространства CAT(1) часто называют леммой Морса — Мостоу и может быть доказано прямым обобщением классического доказательства. Существует также обобщение для более широкого класса гиперболических метрических пространств, предложенное Громовым. Доказательство Громова приведено ниже для единичного диска Пуанкаре; свойства гиперболических метрических пространств развиваются в процессе доказательства, что позволяет применить его, с соответствующими изменениями, к пространствам CAT(1) или гиперболическим метрическим пространствам. Ранее, в посмертной публикации, японский математик Акира Мори доказал близкий результат в теории Тейхмюллера, утверждающий, что любой квазиконформный гомеоморфизм диска является гёльдеровым непрерывным и, следовательно, может быть непрерывно продолжен до гомеоморфизма единичной окружности (известно, что такое продолжение является квази-Мёбиусовским).
Расширение квази-изометрии до границы
Если X — диск Пуанкаре или, в более общем случае, пространство CAT(1), то лемма Морса о стабильности квазигеодезических утверждает, что каждая квазиизометрия X единственным образом продолжается на границу. По определению, два самоотображения f и g пространства X квазиэквивалентны, если supX d(f(x), g(x)) < ∞, то есть соответствующие точки находятся на равномерно ограниченном расстоянии друг от друга. Квазиизометрия f1 пространства X — это самоотображение X, не обязательно непрерывное, имеющее квазиобратное f2, такое что f1 ∘ f2 и f2 ∘ f1 квазиэквивалентны соответствующим отображениям тождества, и существуют константы λ ≥ 1 и ε > 0, такие что для всех x, y в X и обоих отображений. Следует отметить, что квазиобратные определены с точностью до квазиэквивалентности; эквивалентное определение можно дать, используя, возможно, различные правые и левые квазиобратные, но они обязательно будут квазиэквивалентны; квазиизометрии замкнуты относительно композиции, которая с точностью до квазиэквивалентности зависит только от классов квазиэквивалентности; и, с точностью до квазиэквивалентности, квазиизометрии образуют группу. Зафиксируем точку x в X. Для геодезического луча γ, начинающегося в x, образ f ∘ γ под квазиизометрией f является квазигеодезическим лучом. По лемме Морса — Мостоу он находится на ограниченном расстоянии от единственного геодезического луча δ, начинающегося в x. Это определяет отображение ∂f на границу ∂X пространства X, не зависящее от класса квазиэквивалентности f, такое что ∂(f ∘ g) = ∂f ∘ ∂g. Таким образом, существует гомоморфизм из группы квазиизометрий в группу самоотображений ∂X. Чтобы проверить непрерывность ∂f, заметим, что если γ1 и γ2 — геодезические лучи, равномерно близкие на [0, R] в пределах расстояния η, то f ∘ γ1 и f ∘ γ2 находятся на расстоянии λη + ε на [0, R], следовательно, δ1 и δ2 находятся на расстоянии λη + ε + 2h(λ, ε); таким образом, на меньшем интервале [0, r] δ1 и δ2 находятся на расстоянии (r/R)⋅[λη + ε + 2h(λ, ε)] в силу выпуклости. Для пространств CAT(1) более точная версия непрерывности утверждает, что ∂f является квазимёбиусовым отображением относительно естественного класса метрик на ∂X — «визуальных метрик», обобщающих евклидову метрику на единичной окружности и ее преобразования под группой Мёбиуса. Эти визуальные метрики можно определить в терминах функций Буземана. В случае единичного диска теория Тейхмюллера подразумевает, что гомоморфизм переводит квазиконформные отображения диска в группу квазимёбиусовых отображений окружности (используя, например, расширение Ahlfors — Beurling или Douady — Earle): отсюда следует, что гомоморфизм из группы квазиизометрий в квазимёбиусскую группу сюръективен. В обратном направлении легко доказать, что гомоморфизм инъективен. Предположим, что f — квазиизометрия единичного диска, такая что ∂f — тождественное отображение. Предположение и лемма Морса подразумевают, что если γ(R) — геодезическая прямая, то f(γ(R)) лежит в h-окрестности γ(R). Теперь возьмем вторую геодезическую прямую δ, такую что δ и γ пересекаются ортогонально в заданной точке a. Тогда f(a) лежит в пересечении h-окрестностей δ и γ. Применив преобразование Мёбиуса, можно предположить, что a находится в начале координат единичного диска, а геодезические — это вещественная и мнимая оси. В силу выпуклости h-окрестности этих осей пересекаются в 3h-окрестности начала координат: если z лежит в обоих окрестностях, пусть x и y — ортогональные проекции z на оси x и y; тогда d(z, x) ≤ h, следовательно, d(0, y) ≤ h; отсюда d(z, 0) ≤ d(z, y) + d(y, 0) ≤ 2h. Следовательно, d(a, f(a)) ≤ 2h, то есть f квазиэквивалентна тождественному отображению, что и требовалось доказать.
Note that quasi inverses are unique up to quasi equivalence; that equivalent definition could be given using possibly different right and left quasi inverses, but they would necessarily be quasi equivalent; that quasi isometries are closed under composition which up to quasi equivalence depends only the quasi equivalence classes; and that, modulo quasi equivalence, the quasi isometries form a group. Fixing a point x in X, given a geodesic ray γ starting at x, the image f ∘ γ under a quasi isometry f is a quasi geodesic ray. By the Morse Mostow lemma it is within a bounded distance of a unique geodesic ray δ starting at x. This defines a mapping ∂f on the boundary ∂X of X, independent of the quasi equivalence class of f, such that 1=∂(f ∘ g) = ∂f ∘ ∂g. Thus there is a homomorphism of the group of quasi isometries into the group of self mappings of ∂X. To check that ∂f is continuous, note that if γ1 and γ2 are geodesic rays that are uniformly close on [0,R], within a distance η, then f ∘ γ1 and f ∘ γ2 lie within a distance λη + ε on [0,R], so that δ1 and δ2 lie within a distance λη + ε + 2h(λ,ε); hence on a smaller interval [0,r], δ1 and δ2 lie within a distance (r/R)⋅[λη + ε + 2h(λ,ε)] by convexity. On CAT( 1) spaces, a finer version of continuity asserts that ∂f is a quasi Möbius mapping with respect to a natural class of metric on ∂X, the "visual metrics" generalising the Euclidean metric on the unit circle and its transforms under the Möbius group. These visual metrics can be defined in terms of Busemann functions. In the case of the unit disk, Teichmüller theory implies that the homomorphism carries quasiconformal homeomorphisms of the disk onto the group of quasi Möbius homeomorphisms of the circle (using for example the Ahlfors–Beurling or Douady–Earle extension): it follows that the homomorphism from the quasi isometry group into the quasi Möbius group is surjective. In the other direction, it is straightforward to prove that the homomorphism is injective. Suppose that f is a quasi isometry of the unit disk such that ∂f is the identity. The assumption and the Morse lemma implies that if γ('R') is a geodesic line, then f(γ('R')) lies in an h neighbourhood of γ('R'). Now take a second geodesic line δ such that δ and γ intersect orthogonally at a given point in a. Then f(a) lies in the intersection of h neighbourhoods of δ and γ. Applying a Möbius transformation, it can be assumed that a is at the origin of the unit disk and the geodesics are the real and imaginary axes. By convexity, the h neighbourhoods of these axes intersect in a 3h neighbourhood of the origin: if z lies in both neighbourhoods, let x and y be the orthogonal projections of z onto the x and y axes; then 1=d(z,x) ≤ h so taking projections onto the y axis, 1=d(0,y) ≤ h; hence 1=d(z,0) ≤ d(z,y) + d(y,0) ≤ 2h. Hence 1=d(a,f(a)) ≤ 2h, so that f is quasi equivalent to the identity, as claimed.
Поперечное соотношение и расстояние между не пересекающимися геодезическими линиями
При наличии двух различных точек z, w на единичной окружности или действительной оси существует единственное гиперболическое геодезическое [z,w], соединяющее их. Оно задается окружностью (или прямой), которая пересекает единичную окружность или действительную ось ортогонально в этих двух точках. Если g – комплексное преобразование Мёбиуса, то оно сохраняет двойное отношение инвариантным: (g(a), g(b); g(c), g(d)) = (a, b; c, d). Поскольку группа Мёбиуса действует просто транзитивно на тройках точек, двойное отношение можно описать как комплексное число z, такое что g(a) = 0, g(b) = 1, g(c) = λ, g(d) = ∞ для некоторого преобразования Мёбиуса g. Поскольку a, b, c и d все входят в числитель, определяющий двойное отношение, для понимания поведения двойного отношения при перестановках a, b, c и d достаточно рассмотреть перестановки, фиксирующие d, то есть переставляющие только a, b и c. Двойное отношение преобразуется согласно ангармонической группе порядка 6, порожденной преобразованиями Мёбиуса, отображающими λ в 1 – λ и λ⁻¹, а также тремя другими преобразованиями, отображающими λ в 1 – λ⁻¹, в λ(λ – 1)⁻¹ и в (1 – λ)⁻¹. Пусть теперь a, b, c, d – точки на единичной окружности или действительной оси в указанном порядке. Тогда геодезические [a,b] и [c,d] не пересекаются, и расстояние между ними определено однозначно: существует единственная геодезическая, пересекающая эти две геодезические ортогонально, и расстояние задается длиной геодезического сегмента между ними. Очевидно, оно инвариантно относительно вещественных преобразований Мёбиуса. Для сравнения двойного отношения и расстояния между геодезическими, инвариантность относительно преобразований Мёбиуса позволяет свести вычисление к симметричной конфигурации. Пусть 0 < r < R, тогда a = –R, b = –r, c = r, d = R. Тогда λ = (a,b;c,d) = (R + r)² / (4rR) = (t + 1)² / (4t), где t = R/r > 1. С другой стороны, геодезические [a,d] и [b,c] – это полуокружности в верхней полуплоскости радиуса r и R соответственно. Геодезическая, пересекающая их ортогонально, – это положительная мнимая ось, поэтому расстояние между ними равно гиперболическому расстоянию между ir и iR, то есть d(ir, iR) = log(R/r) = log t. Пусть s = log t, тогда λ = cosh²(s/2), так что существует константа C > 0 такая, что если (a,b;c,d) > 1, то, поскольку log[cosh(x)/exp(x)] = log[(1 + exp(-2x))/2] ограничено сверху и снизу при x ≥ 0. Заметим, что a, b, c, d расположены в порядке вокруг единичной окружности тогда и только тогда, когда (a,b;c,d) > 1. Более общая и точная геометрическая интерпретация двойного отношения может быть дана с помощью проекций идеальных точек на геодезическую прямую; она не зависит от порядка точек на окружности и, следовательно, от того, пересекаются ли геодезические прямые. Если p и q – основания перпендикуляров, опущенных из c и d на геодезическую прямую ab, то, поскольку обе части инвариантны относительно преобразований Мёбиуса, достаточно проверить это в случае a = 0, b = ∞, c = x и d = 1. В этом случае геодезическая прямая – положительная мнимая ось, правая часть равна , а q = i. Следовательно, левая часть равна. Заметим, что p и q также являются точками, в которых вписанные окружности идеальных треугольников abc и abd касаются прямой ab.
If g is a complex Möbius transformation then it leaves the cross ratio invariant: 1=(g(a),g(b);g(c),g(d)) = (a,b:c,d). Since the Möbius group acts simply transitively on triples of points, the cross ratio can alternatively be described as the complex number z in such that 1=g(a) = 0, g(b) = 1, g(c) = λ, g(d) = ∞ for a Möbius transformation g.
Since a, b, c and d all appear in the numerator defining the cross ratio, to understand the behaviour of the cross ratio under permutations of a, b, c and d, it suffices to consider permutations that fix d, so only permute a, b and c. The cross ratio transforms according to the anharmonic group of order 6 generated by the Möbius transformations sending λ to 1 – λ and λ^(−1). The other three transformations send λ to 1 – λ^(−1), to λ(λ – 1)^(−1) and to (1 – λ)^(−1). Now let a, b, c, d be points on the unit circle or real axis in that order. Then the geodesics [a,b] and [c,d] do not intersect and the distance between these geodesics is well defined: there is a unique geodesic line cutting these two geodesics orthogonally and the distance is given by the length of the geodesic segment between them. It is evidently invariant under real Möbius transformations. To compare the cross ratio and the distance between geodesics, Möbius invariance allows the calculation to be reduced to a symmetric configuration. For 0 < r < R, take 1=a = –R, b = −r, c = r, d = R. Then
1=λ = (a,b;c,d) = (R + r)^(2)/4rR = (t + 1)^(2)/4t where 1=t = R/r > 1. On the other hand, the geodesics [a,d] and [b,c] are the semicircles in the upper half plane of radius r and R. The geodesic which cuts them orthogonally is the positive imaginary axis, so the distance between them is the hyperbolic distance between ir and iR, 1=d(ir,iR) = log R/r = log t. Let 1=s = log t, then 1=λ = cosh^(2)(s/2), so that there is a constant C > 0 such that, if (a,b;c,d) > 1, then
since 1=log[cosh(x)/expx)] = log (1 + exp(–2x))/2 is bounded above and below in x ≥ 0. Note that a, b, c, d are in order around the unit circle if and only if (a,b;c,d) > 1. A more general and precise geometric interpretation of the cross ratio can be given using projections of ideal points on to a geodesic line; it does not depend on the order of the points on the circle and therefore whether or not geodesic lines intersect. If p and q are the feet of the perpendiculars from c and d to the geodesic line ab, then
Since both sides are invariant under Möbius transformations, it suffices to check this in the case that 1=a = 0, 1=b = ∞, 1=c = x and 1=d = 1. In this case the geodesic line is the positive imaginary axis, right hand side equals , and 1=q = i. So the left hand side equals Note that p and q are also the points where the incircles of the ideal triangles abc and abd touch ab.
Функции Буземана и визуальные метрики для пространств CAT ((-1)
Функции Буземана могут использоваться для определения специальных визуальных метрик на классе пространств CAT(1). Это полные геодезические метрические пространства, в которых расстояния между точками на границе геодезического треугольника не превышают расстояния в соответствующем треугольнике сравнения в гиперболической верхней полуплоскости или, эквивалентно, в единичном диске с метрикой Пуанкаре. В случае единичного диска хордовая метрика может быть восстановлена непосредственно с использованием функций Буземана Bγ, а специальная теория для диска полностью обобщается на любое собственное пространство CAT(1) X. Гиперболическая верхняя полуплоскость является пространством CAT(0), поскольку длины сторон в гиперболическом геодезическом треугольнике меньше, чем длины сторон в евклидовом треугольнике сравнения: в частности, пространство CAT(1) является пространством CAT(0), поэтому применима теория функций Буземана и границы Громова. Из теории гиперболического диска следует, в частности, что любой геодезический луч в пространстве CAT(1) продолжается до геодезической прямой, и для любых двух точек на границе существует единственная геодезическая γ, имеющая эти точки в качестве пределов при γ(±∞). Теория в равной степени применима к любому пространству CAT(−κ) с κ > 0, поскольку такие пространства получаются масштабированием метрики на пространстве CAT(1) с коэффициентом κ^(−1/2). На гиперболическом единичном диске D квазиизометрии D индуцируют квазимеоморфизмы Мёбиуса границы естественным образом. Существует более общая теория гиперболических пространств Громова, для которых выполняется аналогичное утверждение, но с менее точным контролем над гомеоморфизмами границы, и направленная перколяция последнего прохода.