Кіріспе
Лоренцтік көптүрліліктер теориясында сфералық симметриялы кеңістік-уақыттар ұялы дөңгелек сфералар отбасын қабылдайды. Бұл ұялы сфералар отбасына бейімделген бірнеше түрлі координаттық карталар бар; ең танымал - Шварцшильд картасы, бірақ изотроптық карта да жиі пайдалы. Изотроптық картаның ерекшелігі – оның радиалдық координаты (Шварцшильд картасының радиалдық координатынан өзгеше) жарық конустары дөңгелек болып көрінуі үшін анықталады. Бұл дегеніміз (жергілікті түрде жазық көптүрліліктердің тривиалды жағдайынан басқа), бұрыштық изотроптық координаттар ұялы сфералар ішіндегі қашықтықтарды дәл көрсетпейді, сондай-ақ радиалдық координат радиалдық қашықтықтарды да дәл көрсетпейді. Екінші жағынан, тұрақты уақыт гипербеттеріндегі бұрыштар бұрмаланбастан бейнеленеді, сондықтан осы карта осылай аталады. Изотроптық карталар көбінесе жалпы салыстырмалылық сияқты гравитацияның метрикалық теорияларындағы статикалық сфералық симметриялы кеңістіктерде қолданылады, бірақ оларды, мысалы, сфералық импульсті сұйықтық шарды модельдеуде де пайдалануға болады. Эйнштейннің өріс теңдеуінің оқшауланған сфералық симметриялық шешімдері үшін, қашықтық артқан сайын изотроптық және Шварцшильд карталары Минковский кеңістігі-уақытындағы стандартты полярлық сфералық картаға жақындаса түседі.
Координаттық сингулярлық
Локустар изотропиялық картаның шекараларын көрсетеді, және Шварцшильд картасындағыдай, біз осы екі локустың сәйкес екенін жасырын түрде қабылдаймыз, осылайша біздің шамаланған шарларымыз нағыз топологиялық шарлар болады. Шварцшильд картасындағыдай, радиалдық координаттың диапазоны, егер метрика немесе оның кері шамасы осы координаттың бір немесе бірнеше мәнінде шексізке ұлғайса, шектелуі мүмкін.
Метрлік Ansatz
Жоғарыда берілген, f және g изотроптық координата r-дің анықталмаған функциялары ретінде қарастырылатын сызық элементі, жалпы салыстырмалылық теориясында (немесе гравитацияның басқа метрикалық теорияларында) статикалық сфералық симметриялық шешімдерді шығаруда жиі метрикалық Ансац ретінде қолданылады. Мысал ретінде, Картанның сыртқы есептеу әдісін пайдаланып, байланыс пен қисықтықты қалай есептеуге болатынын қарастырамыз. Біріншіден, сызық элементінен кофрейм өрісін анықтаймыз, мұнда f және g r-дің анықталмаған тегіс функциялары ретінде қарастырылады. (Біздің кеңістік-уақыты осы тригонометриялық формадағы фреймге ие болуы – статикалық, сфералық симметриялық Лоренцтік көптүрліліктегі изотроптық координаттардың тағы бір эквивалентті түсінігі). Сыртқы туындыларды алып, бірінші Картан құрылымдық теңдеуін қолданып, біз байланыстың жоғалмайтын бір формасын табамыз. Сыртқы туындыларды қайта алып, екінші Картан құрылымдық теңдеуіне қосып, қисықтықтың екі формасын анықтаймыз.
where we regard as undetermined smooth functions of (The fact that our spacetime admits a frame having this particular trigonometric form is yet another equivalent expression of the notion of an isotropic chart in a static, spherically symmetric Lorentzian manifold). Taking the exterior derivatives and using the first Cartan structural equation, we find the nonvanishing connection one forms
Taking exterior derivatives again and plugging into the second Cartan structural equation, we find the curvature two forms.