Введение

В теории лоренцианских многообразий сферически симметричные пространства-времена допускают семейство вложенных круглых сфер. Существует несколько различных типов координатных карт, адаптированных к этому семейству вложенных сфер; наиболее известна карта Шварцшильда, но изотропная карта также часто бывает полезна. Определяющей характеристикой изотропной карты является то, что её радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты карты Шварцшильда) определена таким образом, чтобы световые конусы выглядели круглыми. Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты неточно отражают расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата неточно отражает радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперповерхностях с постоянным временем представлены без искажений, отсюда и название карты. Изотропные карты чаще всего применяются к статическим сферически симметричным пространствам-временам в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности, но они также могут использоваться, например, для моделирования сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически симметричных решений уравнения поля Эйнштейна на больших расстояниях изотропные и шварцшильдовские карты становятся всё более похожими на обычные полярные сферические координаты в пространстве-времени Минковского.

Координаты сингулярности

Локусы отмечают границы изотропной карты, и подобно диаграмме Шварцшильда, мы неявно предполагаем, что эти два локуса отождествлены, таким образом, наши предполагаемые сферы действительно являются топологическими сферами. Как и в случае диаграммы Шварцшильда, область значений радиальной координаты может быть ограничена, если метрика или ее обратная стремятся к бесконечности при некоторых значениях этой координаты.

Метрический ансац

Вышеуказанный элемент прямой, с f и g, рассматриваемыми как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации). В качестве иллюстрации мы схематично покажем, как вычислить связь и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала из элемента прямой мы выделяем поле кофрейма, где мы рассматриваем f и g как неопределенные гладкие функции от r. (Тот факт, что наше пространство-время допускает базис, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропных координат в статическом, сферически симметричном лоренцевом многообразии). Вычисляя внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, мы находим ненулевые формы связи. Вычисляя внешние производные еще раз и подставляя во второе структурное уравнение Картана, мы находим формы кривизны.