Кіріспе
Алгебралық топологияның саласы
Математикада топологиялық K-теория алгебралық топологияның саласы болып табылады. Ол топологиялық кеңістіктердегі векторлық шоғырларды зерттеу үшін қаланды, және бұл идеялар қазір (жалпы) K-теориясы ретінде танылған, оларды Александр Гротендик енгізген. Топологиялық K-теория бойынша алғашқы жұмыстар Михаэль Атиях пен Фридрих Хирцебрух есімдерімен байланысты.
Қасиеттері
(тиісті түрде, ) – (нүктеленген) кеңістіктердің гомотопиялық санатынан коммутативті сақиналар санатына қарсы функтор. Сондықтан, мысалы, жиырылатын кеңістіктер үшін K теориясы әрқашан болады. K теориясының спектрі (дискретті топологиясы бар) болып табылады, яғни [ , ] нүктеленген гомотопиялық кластарды білдіреді, ал BU – унитарлық топтардың жіктеу кеңістіктерінің колимиті: Сол сияқты, нақты K теориясы үшін BO қолданылады. Табиғи сақина гомоморфизмі бар – Черн сипаттамасы, онда изоморфизм болады. K теориясындағы Стинрод операцияларының эквиваленті Адамс операциялары болып табылады. Оларды топологиялық K теориясындағы сипаттамалық кластарды анықтау үшін қолдануға болады. Топологиялық K теориясының бөліну принципі кез келген векторлық шоғырлар туралы мәлімдемелерді түзу шоғырлардың қосындылары туралы мәлімдемелерге дейін азайтуға мүмкіндік береді. Топологиялық K теориясындағы Том изоморфизмі теоремасы – мұнда T(E) – X кеңістігіндегі E векторлық шоғырының Том кеңістігі. Бұл E спин шоғыры болған кезде орындалады. Атия-Хирцебрух спектрлік тізбегі обыкновенды кохомологиялық топтардан K топтарын есептеуге мүмкіндік береді. Топологиялық K теориясын C* алгебраларындағы функторға кеңінен жалпылауға болады, операторлық K теориясы мен KK теориясын қараңыз.
The spectrum of K theory is (with the discrete topology on ), i. e. where [ , ] denotes pointed homotopy classes and BU is the colimit of the classifying spaces of the unitary groups: Similarly, For real K theory use BO. There is a natural ring homomorphism the Chern character, such that is an isomorphism. The equivalent of the Steenrod operations in K theory are the Adams operations. They can be used to define characteristic classes in topological K theory. The Splitting principle of topological K theory allows one to reduce statements about arbitrary vector bundles to statements about sums of line bundles. The Thom isomorphism theorem in topological K theory is where T(E) is the Thom space of the vector bundle E over X. This holds whenever E is a spin bundle. The Atiyah Hirzebruch spectral sequence allows computation of K groups from ordinary cohomology groups. Topological K theory can be generalized vastly to a functor on C* algebras, see operator K theory and KK theory.
Қолданбалар
Топологиялық K теориясының ең белгілі екі қолданысы да Фрэнк Адамсқа тиесілі. Біріншіден, ол Адамс операцияларын қолданып, Хопф инвариантының бір мәселесін шешті. Екіншіден, ол сфералар бетіндегі сызықтық тәуелсіз векторлық өрістердің максималды санына жоғарғы шек дәлелдеді.