Введение
Отрасль алгебраической топологии
В математике топологическая K-теория является отраслью алгебраической топологии. Она была разработана для изучения векторных расслоений на топологических пространствах, посредством идей, которые сейчас признаны как (общая) K-теория и были введены Александром Гротендиком. Первые работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атияху и Фридриху Хирцебруху.
Свойства
(соответственно, ) является контравариантным функтором из гомотопической категории (указанных) пространств в категорию коммутативных колец. Таким образом, например, K-теория для стягиваемых пространств всегда равна . Спектр K-теории имеет вид (с дискретной топологией на ), то есть , где [ , ] обозначает классы гомотопии с выделенной точкой, а BU – колимит классифицирующих пространств унитарных групп: Аналогично, для вещественной K-теории используйте BO. Существует естественный гомоморфизм колец, характер Черна, такой, что является изоморфизмом. Операции Адамса являются эквивалентом операций Стинрода в K-теории. Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории. Принцип расщепления топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах прямых сумм линейных расслоений. Теорема об изоморфизме Тома в топологической K-теории имеет вид , где T(E) – пространство Тома векторного расслоения E над X. Это справедливо, когда E является спиновым расслоением. Спектральная последовательность Атия-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий. Топологическую K-теорию можно существенно обобщить до функтора на C*-алгебрах, см. операторную K-теорию и KK-теорию.
The spectrum of K theory is (with the discrete topology on ), i. e. where [ , ] denotes pointed homotopy classes and BU is the colimit of the classifying spaces of the unitary groups: Similarly, For real K theory use BO. There is a natural ring homomorphism the Chern character, such that is an isomorphism. The equivalent of the Steenrod operations in K theory are the Adams operations. They can be used to define characteristic classes in topological K theory. The Splitting principle of topological K theory allows one to reduce statements about arbitrary vector bundles to statements about sums of line bundles. The Thom isomorphism theorem in topological K theory is where T(E) is the Thom space of the vector bundle E over X. This holds whenever E is a spin bundle. The Atiyah Hirzebruch spectral sequence allows computation of K groups from ordinary cohomology groups. Topological K theory can be generalized vastly to a functor on C* algebras, see operator K theory and KK theory.
Приложения
Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу. Сначала он решил проблему инварианта Хопфа, выполнив вычисление с использованием операций Адама. Затем он доказал верхнюю оценку для количества линейно независимых векторных полей на сферах.