Кіріспе

Математикалық операция. Математикада матрицаның квадрат түбірі – квадрат түбір ұғымын сандардан матрицаларға дейін кеңейтеді. Егер матрицаның көбейтіндісі BB матрицасы A-ға тең болса, онда B матрицасы A матрицасының квадрат түбірі деп аталады. Кейбір авторлар квадрат түбір атауын немесе A^(1/2) белгісін тек қана A оң жартылай белгілі болған жағдайда ғана қолданады, оң жартылай белгілі және 1=BB=BᵀB=A (нақты мәнді матрицалар үшін, мұнда Bᵀ – B матрицасының транспозі) шартын қанағаттандыратын бірегей матрицаны көрсету үшін. Кем жиі, квадрат түбір атауы оң жартылай белгілі матрицаның кез келген жіктелуі үшін қолданылуы мүмкін, мысалы, 1=BᵀB=A, тіпті егер BB ≠ A болса да, Чолеский жіктелуінде. Бұл ерекше мағына төменде талқыланады.

Оң жартылай нақты матрицалар

Симметриялық нақты n × n матрицасы, егер барлық x үшін (мұнда – транспозиция, x бағандық векторын жолдық векторға түрлендіру) орындалса, оң жартылай анықталған деп аталады. Квадрат нақты матрица, егер және тек қана қандай да бір B матрицасы үшін орындалса, оң жартылай анықталған. Мұндай B матрицалары көп болуы мүмкін. Оң жартылай анықталған A матрицасы үшін де B матрицалары көп болуы мүмкін, бірақ A әрқашан оң жартылай анықталған және симметриялық бір ғана B квадрат түбіріне ие. Атап айтқанда, B симметриялық болуы талап етілгендіктен, , сондықтан екі шарт немесе эквивалентті. Кешенді мәнді матрицалар үшін конугациялық транспозиция қолданылады және оң жартылай анықталған матрицалар Гермит матрицалары деп аталады, яғни .

Бұл бірегей матрица негізгі, теріс емес немесе оң квадрат түбір деп аталады (соңғысы оң анықталған матрицалар үшін). Нақты оң жартылай анықталған матрицаның негізгі квадрат түбірі нақты болады. Бұл қасиеттер матрицаларға қолданылатын голоморфты функционалдық есептеудің салдары болып табылады. Негізгі квадрат түбірдің болуы мен бірегейлігі тікелей Жорданның канондық түрінен шығаруға болады (төменде қараңыз).

Өзіндік мәндері бар матрицалар

n түрлі нөлдік емес өзіндік мәндері бар n×n матрицаның 2n квадрат түбірі болады. Мұндай матрица, A, VDV^(−1) өзіндік ыдырауына ие, мұнда V – матрица, оның бағаналары A-ның өзіндік векторлары, ал D – диагональдық матрица, оның диагональдық элементтері сәйкес n өзіндік мән λi-ге тең. Осылайша, A-ның квадрат түбірлері VD^(1/2)V^(−1) арқылы беріледі, мұнда D^(1/2) – D матрицасының кез келген квадрат түбір матрицасы, ол, ерекше өзіндік мәндер үшін, D-нің диагональдық элементтерінің квадрат түбірлеріне тең диагональдық элементтерімен диагональ болуы керек; D диагональдық элементтерінің квадрат түбірінің екі мүмкін таңдауы болғандықтан, D^(1/2) матрицасының 2n таңдауы бар. Бұл жоғарыда айтылған тұжырымды дәлелдейді, яғни оң анықталған матрицаның дәл бір оң анықталған квадрат түбірі болады: оң анықталған матрицаның тек оң өзіндік мәндері бар, және осы өзіндік мәндердің әрқайсысының тек бір оң квадрат түбірі бар; ал квадрат түбір матрицасының өзіндік мәндері D^(1/2) диагональдық элементтері болғандықтан, квадрат түбір матрицасының өзі оң анықталған болуы үшін бастапқы өзіндік мәндердің бірегей оң квадрат түбірлерін ғана пайдалану қажет.

Жабық пішінді ерітінділер

Егер матрица теңпотентті болса, яғни , онда оның квадрат түбірлерінің бірі – өзінің матрицасы болады.

Иордания бойынша ыдырау

Шур ыдырауына ұқсас, кез келген квадрат матрицаны P керілі және J Джорданның канондық түрінде жіктеуге болады. Оң өзіндік мәндері бар кез келген комплекс матрицаның сол түріндегі квадрат түбірі бар екенін көрсету үшін, оны Джордан блогында тексеру жеткілікті. Кез келген мұндай блок λ(I + N) түрінде болады, мұнда λ > 0 және N нильпотентті. Егер 1 = (1 + z)^(1/2) = 1 + a₁z + a₂z² + … квадрат түбірдің биномдық кеңеюі болса (|z| < 1 шартында жарамды), онда формальды қуат қатары ретінде оның квадраты 1 + z-ге тең. z орнына N қойғанда, тек шектеулі ғана мүшелер нөлдік емес болады және 1 = S = √λ(I + a₁N + a₂N² + ⋯) Джордан блогының √λ өзіндік мәнімен квадрат түбірін береді. λ = 1 болатын Джордан блогы үшін бірегейлікті тексеру жеткілікті. Жоғарыда салынған квадрат 1 = S = I + L түрінде, мұнда L – N-ге қатысты тұрақты мүшесі жоқ полином. Оң өзіндік мәндері бар кез келген басқа квадрат түбір T, T = I + M түрінде болады, мұнда M нильпотентті, N-мен және демек L-мен коммутациялайды. Бірақ сонда 1 = 0 = S² − T² = 2(L − M)(I + (L + M)/2). L және M коммутациялайтындықтан, L + M матрицасы нильпотентті, ал I + (L + M)/2 матрицасы кері матрица болып табылады, оның кері матрицасы Нейман қатары арқылы беріледі. Сондықтан L = M.

Егер A оң өзіндік мәндері бар және ең төменгі дәрежелі полином p(t) матрица болса, онда A-ның жалпыланған өзіндік кеңістіктерге жіктелуін p(t)^(-1) бөлшектік кеңеюінен алуға болады. Жалпыланған өзіндік кеңістіктерге проекциялар A-дағы нақты полиномдар арқылы беріледі. Әрбір өзіндік кеңістікте A жоғарыда көрсетілген λ(I + N) түрінде болады. Өзіндік кеңістіктегі квадрат түбірдің қуат қатарындағы өрнегі A-ның бас квадрат түбірінің түрі q(A) екенін көрсетеді, мұнда q(t) – нақты коэффициенттері бар полином.

Қуат сериясы

Формалды қуат қатарын еске түсірейік, ол (қуат қатарының коэффициенттері қосылатындықтан) берілген жағдайда жақындайды. Бұл өрнекке қосып, мынаны аламыз:

, егер болса. Гельфанд формуласы бойынша, бұл шарт оператордың спектрінің диск ішінде орналасуымен тең. Бұл әдіс анықтау немесе есептеу үшін, егер оң жартылай анықталған болса, өте пайдалы. Ондай жағдайда, және демек, , сондықтан бұл өрнек оператордың квадрат түбірін анықтайды, бұл сонымен қатар бірегей оң жартылай анықталған түбір болып табылады. Бұл әдіс шексіз өлшемді Банах немесе Гильберт кеңістіктеріндегі операторлардың квадрат түбірлерін анықтау үшін де, немесе (C*) Банах алгебрасының белгілі бір элементтері үшін де жарамды болып қалады.

Бабылдық әдіспен

Тағы бір итерациялық әдіс нақты санның квадрат түбірін есептеу үшін белгілі Вавилон әдісінің формуласын алып, оны матрицаларға қолдану арқылы алынады. X0 = I деп есептейік, мұнда I – бірлік матрицасы. Итерация былай анықталады:

Қайтадан, конвергенция кепілдендірілмейді, бірақ егер процесс конвергенцияға келсе, матрица A1/2 квадрат түбіріне квадратикалық түрде жақындайды. Денман-Биверс итерациясымен салыстырғанда, Вавилон әдісінің артықшылығы – әр итерация қадамында тек бір матрицаның керісін есептеу қажет. Екінші жағынан, Денман-Биверс итерациясы матрицалардың керісінің екі тізбегін пайдаланады, олардың кейінгі элементтері салыстырмалы түрде аз өзгереді, сондықтан жоғары есептеу шығындары тек алғашқы элементтерге ғана тән, себебі қалғандары алдыңғы элементтерден керісін есептеудің Ньютон әдісінің бірнеше түрі арқылы есептелуі мүмкін (жоғарыда Денман-Биверс итерациясын қараңыз); Әрине, Вавилон әдісі үшін қажетті керістердің жалғыз тізбесін алу үшін де осы тәсілді қолдануға болады. Алайда, Денман-Биверс итерациясынан айырмашылығы, Вавилон әдісі сандық тұрғыдан тұрақсыз және конвергенцияға келмеуі мүмкін.

Оң операторлардың квадраттық түбірі

Сызықтық алгебра және операторлар теориясында, күрделі Гильберт кеңістігінде берілген шектелген оң жартылай белгілі (теріс емес) оператор T үшін, егер T = B*B болса, онда B операторы T-нің квадрат түбірі болып табылады, мұнда B* – B операторының Эрмиттік түйіндесін білдіреді. Спектрлік теоремаға сәйкес, үздіксіз функционалдық есептеуді қолдану арқылы T1/2 операторын алуға болады, мұнда T1/2 өзі оң және (T1/2)2 = T. T1/2 операторы T-нің бірегей теріс емес квадрат түбірі болып табылады. Күрделі Гильберт кеңістігіндегі шектелген теріс емес оператор анықтама бойынша өзін-өзі қосады. Сондықтан T = (T1/2)*T1/2. Керісінше, B*B түріндегі әрбір оператор теріс емес екені анық. Демек, T операторы теріс емес, егер және тек қана T = B*B түрінде жазыла алатын болса (эквивалентті түрде, T = CC* кейбір C үшін). Холецкий факторландыруы квадрат түбірдің тағы бір нақты мысалын береді, оны бірегей теріс емес квадрат түбірмен шатастыруға болмайды.

Квадрат түбірінің бірлік еркіндігі

Егер T – шекті өлшемді Гильберт кеңістігіндегі теріс емес оператор болса, онда T-нің барлық квадрат түбірі бірлік түрлендірулермен байланысты. Дәлірек айтқанда, егер T = A*A = B*B болса, онда A = UB түріндегі бірлік U бар. Шындығында, B = T-ні T-нің бірегей теріс емес квадрат түбірі деп қабылдайық. Егер T қатаң оң болса, онда B кері айналады, сондықтан 1 = U = AB−1 бірлік болады.

Егер T қатаң оң болмаса да теріс емес болса, онда B-нің керісі анықталмайды, бірақ Мур – Пенроуз псевдоинверсиясы B+ болуы мүмкін. Бұл жағдайда 1=B+A операторы – жартылай изометрия, яғни T-нің диапазонынан өзіне дейінгі бірлік операторы. Оны T ядросындағы сәйкестікке тең етіп қою арқылы бүкіл кеңістіктегі U бірлік операторына кеңейтуге болады. Көбінесе, егер T жабық диапазонға ие болса, бұл шексіз өлшемді Гильберт кеңістігінде де дұрыс. Жалпы, егер A, B Гильберт кеңістігінде жабық және тығыз анықталған операторлар болса және A*A = B*B болса, онда A = UB, мұнда U – жартылай изометрия.

Кейбір қолданулар

Квадрат түбірлер және квадрат түбірлердің дербес болуы функционалдық анализ және сызықтық алгебраның көптеген салаларында қолданылады.