Введение

Математическая операция
В математике квадратный корень матрицы расширяет понятие квадратного корня с чисел на матрицы. Матрица B называется квадратным корнем из A, если матричное произведение BB равно A. Некоторые авторы используют название "квадратный корень" или обозначение A^(1/2) только для конкретного случая, когда A является положительно полуопределенной, чтобы обозначить единственную матрицу B, которая также является положительно полуопределенной и удовлетворяет условию BB = BᵀB = A (для матриц с вещественными значениями, где Bᵀ – транспонированная матрица B). Менее часто термин "квадратный корень" может использоваться для любого разложения положительно полуопределенной матрицы A в виде BTB = A, как, например, в разложении Чолеского, даже если BB ≠ A. Это особое значение обсуждается в .

Положительные полуопределенные матрицы

Симметричная вещественная матрица n × n называется положительно полуопределенной, если для всех (здесь обозначает транспонирование, преобразующее вектор-столбец x в вектор-строку). Квадратная вещественная матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда для некоторой матрицы B. Существует множество различных таких матриц B. Положительно полуопределенная матрица A также может иметь множество матриц B, удовлетворяющих условию Однако, матрица A всегда имеет ровно один квадратный корень B, который является положительно полуопределенным и симметричным. В частности, поскольку B требуется быть симметричной, , поэтому два условия или эквивалентны. Для матриц с комплексными значениями используется сопряженное транспонирование , а положительно полуопределенные матрицы являются эрмитовыми, то есть .

Эта уникальная матрица называется главным, неотрицательным или положительным квадратным корнем (последнее – в случае положительно определенных матриц). Главный квадратный корень вещественной положительно полуопределенной матрицы является вещественным. Эти свойства являются следствием голоморфного функционального исчисления, применяемого к матрицам. Существование и единственность главного квадратного корня можно непосредственно вывести из нормальной формы Жордана (см. ниже).

Матрицы с различными собственными значениями

Матрица n×n с n различными ненулевыми собственными значениями имеет 2n квадратных корней. Такая матрица, A, имеет разложение по собственным значениям VDV^(-1), где V – матрица, столбцы которой являются собственными векторами A, а D – диагональная матрица, диагональные элементы которой соответствуют собственным значениям λi. Таким образом, квадратные корни A задаются выражением VD^(1/2)V^(-1), где D^(1/2) – любая матрица, являющаяся квадратным корнем из D, которая, при различных собственных значениях, должна быть диагональной с диагональными элементами, равными квадратным корням диагональных элементов D; поскольку существует два возможных выбора квадратного корня для каждого диагонального элемента D, существует 2n вариантов для матрицы D^(1/2). Это также приводит к доказательству вышеупомянутого утверждения о том, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами D^(1/2), для того чтобы матрица квадратного корня сама была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни исходных собственных значений.

Растворы в закрытой форме

Если матрица идемпотентна, то есть, , то по определению один из её квадратных корней — сама матрица.

По разложению по Иордании

Точно так же, как и для разложения Шура, каждая квадратная матрица может быть разложена в виде где P – обратимая, а J находится в нормальной жордановой форме. Чтобы показать, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень той же формы, достаточно проверить это для жорданового блока. Любой такой блок имеет вид λ(I + N), где λ > 0 и N – нильпотентная матрица. Если 1 = (1 + z)^(1/2) = 1 + a₁z + a₂z² + … – это биномиальное разложение квадратного корня (действительное при |z| < 1), то как формальный степенной ряд его квадрат равен 1 + z. Подставляя N вместо z, лишь конечное число членов будет ненулевым, и 1 = S = √λ(I + a₁N + a₂N² + …) дает квадратный корень жорданового блока с собственным значением 1 = √λ. Достаточно проверить единственность для жорданового блока с λ = 1. Построенный выше квадратный корень имеет вид 1 = S = I + L, где L – многочлен от N без постоянного члена. Любой другой квадратный корень T с положительными собственными значениями имеет вид T = I + M, где M – нильпотентная матрица, коммутирующая с N и, следовательно, с L. Но тогда 1 = 0 = S² − T² = 2(L − M)(I + (L + M)/2). Поскольку L и M коммутируют, матрица L + M нильпотентна, а I + (L + M)/2 обратима, и ее обратная задается рядом Неймана. Следовательно, L = M.

Если A – матрица с положительными собственными значениями и минимальным полиномом p(t), то жорданово разложение на обобщенные собственные пространства A можно вывести из разложения p(t)^(-1) в простейшие дроби. Соответствующие проекции на обобщенные собственные пространства задаются вещественными многочленами от A. На каждом собственном пространстве A имеет вид λ(I + N), как указано выше. Степенное разложение квадратного корня на собственном пространстве показывает, что главный квадратный корень из A имеет вид q(A), где q(t) – многочлен с вещественными коэффициентами.

Серия мощности

Вспомним формальный ряд степеней , который сходится при условии (поскольку коэффициенты степенного ряда суммируемы). Подстановка в это выражение дает

при условии, что. В силу формулы Гельфанда, это условие эквивалентно требованию, чтобы спектр оператора содержался внутри диска. Этот метод определения или вычисления особенно полезен в случае, когда оператор положительно полуопределен. В этом случае у нас есть и, следовательно, , так что выражение определяет квадратный корень из , который, кроме того, оказывается единственным положительно полуопределенным корнем. Этот метод остается справедливым для определения квадратных корней операторов на бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах, или для определенных элементов (C*) банаховых алгебр.

По вавилонскому методу

Еще один итеративный метод получается, если взять хорошо известную формулу вавилонского метода для вычисления квадратного корня действительного числа и применить ее к матрицам. Пусть X0 = I, где I – единичная матрица. Итерация определяется следующим образом:

Опять же, сходимость не гарантирована, но если процесс сходится, матрица сходится квадратично к квадратному корню A1/2. По сравнению с итерацией Денмана — Биверса, преимуществом вавилонского метода является то, что на каждом шаге итерации необходимо вычислять только один обратный матрицу. С другой стороны, поскольку итерация Денмана — Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, поздние элементы которых меняются относительно незначительно, высокая вычислительная стоимость приходится только на первые элементы, поскольку остальные можно вычислить из предыдущих элементов всего за несколько проходов варианта метода Ньютона для вычисления обратных матриц (см. итерацию Денмана — Биверса выше); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности обратных матриц, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана — Биверса, вавилонский метод численно неустойчив и более склонен к расходимости.

Корни квадратные положительных операторов

В линейной алгебре и теории операторов, для ограниченного положительно полуопределенного (неотрицательного) оператора T на комплексном гильбертовом пространстве, оператор B является квадратным корнем из T, если T = B*B, где B* обозначает эрмитово сопряжение оператора B. Согласно спектральной теореме, непрерывное функциональное исчисление позволяет получить оператор T<sup>1/2</sup>, который сам по себе является положительным и (T<sup>1/2</sup>)<sup>2</sup> = T. Оператор T<sup>1/2</sup> является единственным неотрицательным квадратным корнем из T. Ограниченный неотрицательный оператор на комплексном гильбертовом пространстве по определению является самосопряжённым. Таким образом, T = (T<sup>1/2</sup>)*T<sup>1/2</sup>. И наоборот, очевидно, что любой оператор вида B*B является неотрицательным. Следовательно, оператор T является неотрицательным тогда и только тогда, когда T = B*B для некоторого оператора B (эквивалентно, T = CC* для некоторого оператора C). Факторизация Холецкого предоставляет ещё один частный пример квадратного корня, который не следует путать с единственным неотрицательным квадратным корнем.

Единая свобода квадратных корней

Если T – неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни T связаны унитарными преобразованиями. Более точно, если T = A*A = B*B, то существует унитарный оператор U, такой что A = UB. Действительно, можно взять B = T, являющийся единственным неотрицательным квадратным корнем из T. Если T строго положительный, то B обратим, и, следовательно, U = AB−1 является унитарным оператором.

Если T неотрицательный, но не строго положительный, то обратный к B не может быть определен, однако псевдообратная Мура — Пенроуза B+ может быть найдена. В этом случае оператор B+A является частичной изометрией, то есть унитарным оператором из области значений T в себя. Этот оператор можно расширить до унитарного оператора U на всем пространстве, определив его равным тождественному оператору на ядре T. В более общем случае, это верно для бесконечномерного гильбертова пространства, если, кроме того, T имеет замкнутую область значений. В общем случае, если A и B – замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве H, и A*A = B*B, то A = UB, где U – частичная изометрия.

Некоторые приложения

Квадратные корни и свойства однозначного определения квадратных корней находят применение во всем функциональном анализе и линейной алгебре.