Кванттық есептеулер: шексіздіксіз интегралдау және қолданыстары
Quantum calculus
Кванттық есептеу: шексіздіксіз есептеу, дәлірек айтқанда, шектерсіз математикалық талдау. q және h есептеуі – математикалық объектілердің аналогтарын табу.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кванттық есептеу, кейде шексіз есептеу деп аталады, шексіз есептеу түсінігінсіз дәстүрлі шексіз есептеумен эквивалентті. Кванттық есептеудегі есептеудің екі түрі – q есептеу және h есептеу. Екі түрдің де мақсаты – математикалық объектілердің "аналогтарын" табу, онда белгілі бір шекке қол жеткізгеннен кейін бастапқы объекті қайтарылады. q есептеуде q 1-ге жақындағандағы шек q аналогынан алынады. Сол сияқты, h есептеуде h 0-ге жақындағандағы шек h аналогынан алынады. Параметрлер және формула арқылы байланыстырылуы мүмкін.
Quantum calculus, sometimes called calculus without limits, is equivalent to traditional infinitesimal calculus without the notion of limits. The two types of calculus in quantum calculus are q calculus and h calculus. The goal of both types is to find "analogs" of mathematical objects, where, after taking a certain limit, the original object is returned. In q calculus, the limit as q tends to 1 is taken of the q analog. Likewise, in h calculus, the limit as h tends to 0 is taken of the h analog. The parameters and can be related by the formula .
q-интеграл
F(x) функциясы f(x) функциясының q антитуындысы болып табылады, егер DqF(x) = f(x) болса. q антитуындысы (немесе q интегралы) арқылы белгіленеді және F(x) үшін өрнек мынадан табылады, ол f(x) функциясының Джексон интегралы деп аталады. Егер 0 < q < 1 болса және |f(x)xα| белгілі бір [0, A) аралығында шектелген болса, онда қатар (0,A] аралығында F(x) функциясына жақындайды. q интегралы – qj нүктелерінде шексіз көп өсу нүктелері бар қадамдық функцияға қатысты Риманн-Стильджес интегралы. qj нүктесіндегі секіру qj-ге тең. Бұл қадамдық функцияны gq(t) деп атасақ, dgq(t) = dqt болады.
A function F(x) is a q antiderivative of f(x) if DqF(x) = f(x). The q antiderivative (or q integral) is denoted by and an expression for F(x) can be found from:, which is called the Jackson integral of f(x). For 0 < q < 1, the series converges to a function F(x) on an interval (0,A] if |f(x)xα| is bounded on the interval for some 0 ≤ α < 1. The q integral is a Riemann–Stieltjes integral with respect to a step function having infinitely many points of increase at the points qj The jump at the point qj is qj. Calling this step function gq(t) gives dgq(t) = dqt.
h-интеграл
F(x) функциясы f(x) функциясының h антидериваты болып табылады, егер DhF(x) = f(x) болса. h интегралы былай белгіленеді: Егер a мен b h-нің толық сан еселігімен ерекшеленсе, онда белгілі интеграл [a, b] интервалындағы f(x) функциясының Риман қосындысы арқылы беріледі, бұл интервал ені h-қа тең кіші интервалдарға бөлінген. h интегралының түрткісі f(x) функциясының Риман қосындысынан туындайды. Классикалық интегралдардың түрткісіне сәйкес, классикалық интегралдардың кейбір қасиеттері h интегралында да сақталады. Бұл түсінік сандық талдауда, әсіресе шекті айырмашылықтар есебінде кең қолданысқа ие.
A function F(x) is an h antiderivative of f(x) if DhF(x) = f(x). The h integral is denoted by If a and b differ by an integer multiple of h then the definite integral is given by a Riemann sum of f(x) on the interval , partitioned into sub intervals of equal width h. The motivation of h integral comes from the Riemann sum of f(x). Following the idea of the motivation of classical integrals, some of the properties of classical integrals hold in h integral. This notion has broad applications in numerical analysis, and especially finite difference calculus.
Тарих
h-калькулы — Джордж Буль және басқалар зерттеген шекті айырмашылықтар есебі, ол комбинаторика және сұйық механикасында пайдалы болып шықты. q-калькулының тамыры Леонхард Эйлер мен Карл Густав Якобиге дейін жетеді, бірақ кванттық механикада қолданыла бастағаны жақында ғана, себебі ол коммутативтік қатынастармен және Ли алгебраларымен, әсіресе кванттық топтармен тығыз байланысты.
The h calculus is the calculus of finite differences, which was studied by George Boole and others, and has proven useful in combinatorics and fluid mechanics. In a sense, q calculus dates back to Leonhard Euler and Carl Gustav Jacobi, but has only recently begun to find usefulness in quantum mechanics, given its intimate connection with commutativity relations and Lie algebras, specifically quantum groups.