Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Квантовый анализ, иногда называемый исчислением без пределов, эквивалентен традиционному дифференциальному и интегральному исчислению без понятия предела. Два типа исчисления в квантовом анализе — q-исчисление и h-исчисление. Цель обоих типов — найти "аналоги" математических объектов, которые, при стремлении определенного параметра к определенному значению, возвращают исходный объект. В q-исчислении рассматривается предел q-аналога при q, стремящемся к 1. Аналогично, в h-исчислении рассматривается предел h-аналога при h, стремящемся к 0. Параметры q и h могут быть связаны формулой q = e^(-h).
Quantum calculus, sometimes called calculus without limits, is equivalent to traditional infinitesimal calculus without the notion of limits. The two types of calculus in quantum calculus are q calculus and h calculus. The goal of both types is to find "analogs" of mathematical objects, where, after taking a certain limit, the original object is returned. In q calculus, the limit as q tends to 1 is taken of the q analog. Likewise, in h calculus, the limit as h tends to 0 is taken of the h analog. The parameters and can be related by the formula .
q-интеграл
Функция F(x) является q-антипроизводной функции f(x), если DqF(x) = f(x). q-антипроизводная (или q-интеграл) обозначается и выражение для F(x) можно найти из: , которое называется интегралом Джексона функции f(x). Для 0 < q < 1 ряд сходится к функции F(x) на интервале (0, A], если |f(x)xα| ограничена на этом интервале при некотором 0 ≤ α < 1. q-интеграл является интегралом Римана — Стильтьеса относительно ступенчатой функции, имеющей бесконечно много точек возрастания в точках qj. Скачок в точке qj равен qj. Обозначив эту ступенчатую функцию gq(t), получаем dgq(t) = dqt.
A function F(x) is a q antiderivative of f(x) if DqF(x) = f(x). The q antiderivative (or q integral) is denoted by and an expression for F(x) can be found from:, which is called the Jackson integral of f(x). For 0 < q < 1, the series converges to a function F(x) on an interval (0,A] if |f(x)xα| is bounded on the interval for some 0 ≤ α < 1. The q integral is a Riemann–Stieltjes integral with respect to a step function having infinitely many points of increase at the points qj The jump at the point qj is qj. Calling this step function gq(t) gives dgq(t) = dqt.
h-интеграл
Функция F(x) является h-антипроизводной от f(x), если DhF(x) = f(x). Если a и b отличаются на целое кратное h, то определённый интеграл задаётся суммой Римана функции f(x) на интервале [a, b], разделённом на подинтервалы одинаковой ширины h. Идея h-интегрирования восходит к сумме Римана функции f(x). В соответствии с идеей, лежащей в основе классических интегралов, некоторые свойства классических интегралов справедливы и для h-интеграла. Данное понятие имеет широкое применение в численном анализе, и в особенности в исчислении конечных разностей.
A function F(x) is an h antiderivative of f(x) if DhF(x) = f(x). The h integral is denoted by If a and b differ by an integer multiple of h then the definite integral is given by a Riemann sum of f(x) on the interval , partitioned into sub intervals of equal width h. The motivation of h integral comes from the Riemann sum of f(x). Following the idea of the motivation of classical integrals, some of the properties of classical integrals hold in h integral. This notion has broad applications in numerical analysis, and especially finite difference calculus.
История
H-исчисление — это исчисление конечных разностей, которое изучалось Джорджем Булем и другими, и оказалось полезным в комбинаторике и гидродинамике. В некотором смысле, q-исчисление своими корнями уходит к Леонарду Эйлеру и Карлу Густаву Якоби, но лишь недавно стало находить применение в квантовой механике благодаря своей тесной связи с коммутационными соотношениями и алгебрами Ли, особенно с квантовыми группами.
The h calculus is the calculus of finite differences, which was studied by George Boole and others, and has proven useful in combinatorics and fluid mechanics. In a sense, q calculus dates back to Leonhard Euler and Carl Gustav Jacobi, but has only recently begun to find usefulness in quantum mechanics, given its intimate connection with commutativity relations and Lie algebras, specifically quantum groups.