Қосылған осцилляторлардың дәл шешілетін моделі

Кіріспе

Қостырғыштардың дәл шешілетін моделі
Курамото моделі (немесе Курамото–Дайдо моделі), алғаш рет Йошики Курамото (蔵本由紀) ұсынған, синхронизацияны сипаттау үшін қолданылатын математикалық модель. Нақтырақ айтқанда, бұл үлкен саны бар байланысты тербелістер жиынтығының әрекетін сипаттайтын модель. Оның жасалуы химиялық және биологиялық тербелістер жүйелерінің әрекетімен шақырылды және нейроғылым және тербелісті жалындар динамикасы сияқты салаларда кеңінен қолданыс тапты. Курамото кейбір физикалық жүйелердің, атап айтқанда Джозефсон тораптарының тізбектерінің әрекеті оның моделіне сәйкес келгенде қатты таңқалды. Модель бірнеше шарттарға негізделген, оның ішінде байланыстың әлсіздігі, тербелістердің бірдей немесе дерлік бірдей болуы және өзара әрекеттесулердің әрбір жұп объектілер арасындағы фазалық айырмашылыққа синусоидты тәуелділікте болуы.

Анықтама

Курамото моделінің ең көп таралған нұсқасында, әрбір осциллятордың өзіндік табиғи жиілігі болады деп есептеледі, және әрқайсысы қалған барлық осцилляторлармен бірдей күшпен байланысты. Күтпегендей, бұл толыққанды сызықтық емес модель, осцилляторлар саны шексізке жақындағанда (N→ ∞) нақты шешіледі.

Үлгілердің өзгеруі

Жоғарыда ұсынылған бастапқы модельге қатысты бірнеше түрлі өзгерістер енгізілуі мүмкін. Кейбір модельдер топологиялық құрылымын өзгертеді, ал кейбіреулері әртүрлі салмақтарды қолдануға мүмкіндік береді, сондай-ақ басқа өзгерістер Курамото моделінен шабыттанған, бірақ одан өзгеше функционалдық формаға ие модельдерге қатысты болады.

Желі топологиясының өзгеруі

Бастапқы модельге қоса, барлық дерлік байланысқа ие болатын, жеткілікті тығыз күрделі желі топологиясы бастапқы модельдің шешімінде қолданылатын орташа өріс әдісіне бейім (толық ақпарат алу үшін жоғарыдағы Трансформация және Үлкен N лимітін қараңыз). Сақина және байланысты популяциялар сияқты желі топологиялары химералық күйлерді қолдайды. Шынжыр мен сақинаның прототиптік мысалдары болатын, ішкі жағынан жергілікті, мысалы бір өлшемді топологиялардағы модельдердің қалай өрнектелетінін де қарастыруға болады. Мұндай топологияларда, онда байланыс 1/N пропорциясында масштабталмайды, канондық орташа өріс тәсілін қолдану мүмкін емес, сондықтан жағдайды жеке-жеке талдау қажет, мүмкіндігінше симметрияларды пайдаланып, шешімдердің жалпы принциптерін абстракциялауға негіз болатын жағдайларды қарастыру керек. Біркелкі синхронизация, толқындар және спиральдар диффузиялық жергілікті байланысқа ие екі өлшемді Курамото желілерінде оңай байқалады. Бұл модельдердегі толқындардың тұрақтылығын Тьюринг тұрақтылық талдауының әдістерін қолдану арқылы анықтауға болады. Жергілікті байланыс барлық жерде оң болғанда біркелкі синхронизация тұрақты болады, ал ұзақ қашықтықтағы байланыстар теріс болғанда (тежегіш айналадағы байланыс) толқындар пайда болады. Толқындар мен синхронизация топологиялық жағынан ерекшеленетін, толқынды деп аталатын шешімдер тармағымен байланысты. Бұл біркелкі күйден (немесе толқын күйінен) Хопф бифуркациясы арқылы пайда болатын, төмен амплитудалы, кеңістікте периодтық ауытқулар. Уайли, Строгац және Жирван толқынды шешімдердің болуын болжаған (бірақ байқамаған), оларды көп бұрылған q күйлері деп атаған. Курамото моделі зерттелетін топологияны өздігінен ұйымдастырылатын синхронизация мен таралуды жақсартатын фитнес моделін пайдалану арқылы бейімделуге болады. Минималды дәрежеге ие графқа қарамастан, ол байланысты болады, бірақ графты синхронизациялау үшін одан да жақсы нәтиже алу үшін, мұндай жағдайда, ең аз дәрежелі түйіндері бар кез келген графтың жаһандық синхронизацияға ие болуы үшін белгілі бір критиктік байланыс шегі болуы керек. жеткілікті үлкен. Минималды максималды мәндер аралығында орналасқандығы белгілі. Сол сияқты, шеттік ықтималдығы нақты мәніне тең болған Эрдос-Рени графтары шексізге жақындағанда байланысты болады, және осы мән осы кездейсоқ графтардың синхронизацияға ұшырауына себеп болатын сан деп есептеледі, бұл туралы 2022 жылғы алдын ала басылымда дәлелденгені айтылады.

Beside the original model, which has an all to all topology, a sufficiently dense complex network like topology is amenable to the mean field treatment used in the solution of the original model (see Transformation and Large N limit above for more info). Network topologies such as rings and coupled populations support chimera states. One also may ask for the behavior of models in which there are intrinsically local, like one dimensional topologies which the chain and the ring are prototypical examples. In such topologies, in which the coupling is not scalable according to 1/N, it is not possible to apply the canonical mean field approach, so one must rely upon case by case analysis, making use of symmetries whenever it is possible, which may give basis for abstraction of general principles of solutions. Uniform synchrony, waves and spirals can readily be observed in two dimensional Kuramoto networks with diffusive local coupling. The stability of waves in these models can be determined analytically using the methods of Turing stability analysis. Uniform synchrony tends to be stable when the local coupling is everywhere positive whereas waves arise when the long range connections are negative (inhibitory surround coupling). Waves and synchrony are connected by a topologically distinct branch of solutions known as ripple. These are low amplitude spatially periodic deviations that emerge from the uniform state (or the wave state) via a Hopf bifurcation. The existence of ripple solutions was predicted (but not observed) by Wiley, Strogatz and Girvan, who called them multi twisted q states. The topology on which the Kuramoto model is studied can be made adaptive by use of fitness model showing enhancement of synchronization and percolation in a self organised way. A graph with the minimal degree at least will be connected nevertheless for a graph to synchronize a little more it is required for such case it is known that there is critical connectivity threshold such that any graph on nodes with minimum degree must globally synchronise. for large enough. The minimum maximum are known to lie between
Similarly it is known that Erdős Rényi graphs with edge probability precisely as goes to infinity will be connected and it has been conjectured that this value is too the number at which these random graphs undergo synchronization which a 2022 preprint claims to have proved.

Желі топологиясының және желі салмағының өзгеруі: көлік координациясынан ми синхрондауына дейін

Бақылау саласындағы кейбір зерттеулер желілердегі және әртүрлі салмақтардағы Курамото моделіне бағытталған (яғни, кез келген екі осциллятор арасындағы байланыс күші кез келген болуы мүмкін). Бұл модельдің динамикасы былай жазылады:

мұнда – егер осциллятор осцилляторға қосылса, онда нөлден өзге оң нақты сан. Мұндай модель, мысалы, үйірме, мектептегі үйлесімді қозғалыс және көлік құралдарының координациясын зерттеу үшін шынайы жағдайлар жасауға мүмкіндік береді. Дёрфлер және оның әріптестерінің жұмысында бірнеше теоремалар осы модельдің фазалық және жиіліктік синхронизациясы үшін қатаң шарттар келтірілген. Нейробиологиядағы эксперименттік байқауларға сүйене отырып, жүргізілген одан әрі зерттеулер әртүрлі Курамото осцилляторларының кез келген желілік топологиядағы кластерлік синхронизациясының аналитикалық шарттарын анықтауға бағытталған. Курамото моделі мидағы синхронизация құбылыстарын бағалауда маңызды рөл атқаратындықтан, эмпирикалық деректерді қолдайтын теориялық шарттар нейрондық синхронизация құбылыстарын тереңірек түсінуге көмектеседі.

Қолжетімділік

pyclustering кітапханасы Курамото моделінің және оның түрлендірілімдерінің Python және C++ нұсқаларын қамтиды. Бұған қоса, кітапхана Курамото моделі мен фазалық осцилляторға негізделген тербелістік желілерден тұрады (кластерлік талдау, үлгіні тану, графтарды түстің қатарымен бояу, кескіндерді бөлу мақсатында).