Введение

Точно разрешимая модель связанных осцилляторов. Модель Курамото (или модель Курамото — Дайдо), впервые предложенная Ёсики Курамото (蔵本 由紀), является математической моделью, используемой для описания синхронизации. В частности, это модель поведения большого количества связанных осцилляторов. Формулировка модели была вдохновлена поведением систем химических и биологических осцилляторов и нашла широкое применение в таких областях, как нейробиология и динамика колеблющегося пламени. Курамото был весьма удивлен, когда поведение некоторых физических систем, а именно связанных массивов джозефсоновских переходов, оказалось согласующимся с его моделью. Модель опирается на ряд предположений, включая слабое взаимодействие, идентичность или почти идентичность осцилляторов, а также синусоидальную зависимость взаимодействия от разности фаз между каждой парой объектов.

Определение

В наиболее популярной версии модели Курамото каждый осциллятор считается обладающим собственной внутренней естественной частотой, и каждый из них связан одинаково со всеми остальными осцилляторами. Удивительно, но эта полностью нелинейная модель может быть решена точно в пределе бесконечного числа осцилляторов, N→ ∞.

Вариации моделей

Существует несколько типов вариаций, которые можно применить к исходной модели, представленной выше. Некоторые модели изменяют свою топологическую структуру, другие допускают неоднородные веса, а другие изменения больше относятся к моделям, вдохновленным моделью Курамото, но отличающимся по функциональной форме.

Вариации топологии сети

Помимо исходной модели, имеющей топологию "все ко всем", достаточно плотная сложная сеть, подобная по структуре, допускает применение метода среднего поля, используемого при решении исходной модели (см. разделы "Преобразования и предел большого N" выше для получения дополнительной информации). Сетевые топологии, такие как кольца и связанные популяции, поддерживают состояния химеры. Также можно исследовать поведение моделей с внутренне локальными топологиями, например, одномерными, где цепочка и кольцо служат типичными примерами. В таких топологиях, где связи не масштабируются как 1/N, невозможно применить стандартный подход среднего поля, поэтому необходимо проводить анализ для каждого конкретного случая, используя симметрии, когда это возможно, что может послужить основой для выделения общих принципов решения. Однородная синхронизация, волны и спирали легко наблюдаются в двухмерных сетях Курамото с диффузионным локальным взаимодействием. Стабильность волн в этих моделях можно определить аналитически, используя методы анализа устойчивости Тьюринга. Однородная синхронизация, как правило, стабильна при положительном локальном взаимодействии во всех точках, в то время как волны возникают при отрицательном взаимодействии на больших расстояниях (ингибирующее окружающее взаимодействие). Волны и синхронизация связаны топологически отличной ветвью решений, известной как рябь. Это пространственно-периодические отклонения малой амплитуды, возникающие из однородного состояния (или волнового состояния) посредством бифуркации Хопфа. Существование решений в виде ряби было предсказано (но не наблюдалось) Уайли, Строгацем и Джирваном, которые назвали их многократно скрученными q-состояниями. Топологию, на которой изучается модель Курамото, можно сделать адаптивной, используя модель пригодности, демонстрирующую усиление синхронизации и перколяции самоорганизующимся образом. Граф с минимальной степенью, по крайней мере, будет связным, однако для синхронизации графа требуется немного больше, и в этом случае известно, что существует критический порог связности, такой что любой граф на узлах с минимальной степенью должен глобально синхронизироваться при достаточно большом количестве узлов. Минимальные максимальные значения лежат между. Аналогично известно, что графы Эрдоша — Рени с вероятностью ребра, равной точно как при увеличении числа узлов до бесконечности, будут связными, и было предположено, что это значение также соответствует числу, при котором эти случайные графы подвергаются синхронизации, что, согласно препринту 2022 года, было доказано.

Вариации топологии сети и веса сети: от координации транспортных средств до синхронизации мозга

Некоторые работы в области управления сосредоточены на модели Курамото в сетях и с неоднородными весами (то есть, сила связи между любыми двумя осцилляторами может быть произвольной). Динамика этой модели записывается следующим образом:

где – ненулевое положительное вещественное число, если осциллятор соединен с осциллятором . Такая модель позволяет более реалистично изучать, например, стайность, косяки и координацию транспортных средств. В работе Дёрфлера и коллег несколько теорем предоставляют строгие условия для фазовой и частотной синхронизации этой модели. Последующие исследования, вдохновленные экспериментальными наблюдениями в нейробиологии, направлены на получение аналитических условий для кластерной синхронизации неоднородных осцилляторов Курамото на произвольных топологиях сети. Поскольку модель Курамото, по-видимому, играет ключевую роль в оценке явлений синхронизации в мозге, теоретические условия, подтверждающие эмпирические данные, могут открыть путь к более глубокому пониманию феноменов нейронной синхронизации.

Доступность

Библиотека pyclustering включает реализацию модели Курамото и её модификаций на языках Python и C++. Кроме того, библиотека содержит осцилляторные сети (для кластерного анализа, распознавания образов, раскраски графов, сегментации изображений), основанные на модели Курамото и фазовых осцилляторах.