Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Наполеонның проблемасы – компаспен салу мәселесі. Онда шеңбер және оның центрі берілген. Міндет – тек компасты пайдаланып, шеңберді төрт тең бөлікке бөлу. Наполеон әуесқой математик ретінде белгілі болды, бірақ ол осы мәселені қойған немесе шешкені белгісіз. Наполеонның досы, итальяндық математик Лоренцо Маскерони геометриялық салуларда тек компасты (сызықсыз) пайдалану шегін енгізді. Бірақ шындығында, жоғарыдағы міндет Наполеонның нақты проблемасынан оңай, ол – тек компаспен берілген шеңбердің центрін табудан тұрады. Келесі бөлімдерде үш мәселенің шешімі және олардың дұрыс екендігінің дәлелдері сипатталады. Георг Мордың 1672 жылғы "Евклид Даник" кітабы Маскеронидің идеясын алдын ала болжады, бірақ бұл кітап тек 1928 жылы қайта жарияланды.
Napoleon's problem is a compass construction problem. In it, a circle and its center are given. The challenge is to divide the circle into four equal arcs using only a compass. Napoleon was known to be an amateur mathematician, but it is not known if he either created or solved the problem. Napoleon's friend the Italian mathematician Lorenzo Mascheroni introduced the limitation of using only a compass (no straight edge) into geometric constructions. But actually, the challenge above is easier than the real Napoleon's problem, consisting in finding the center of a given circle with compass alone. The following sections will describe solutions to three problems and proofs that they work. Georg Mohr's 1672 book "Euclides Danicus" anticipated Mascheroni's idea, though the book was only rediscovered in 1928.
Берілген шеңберді оның ортасын ескере отырып , төрт бірдей доғаға бөлу
C шеңберіндегі кез келген X нүктесіне ортақтасып, O (C ортасы) арқылы V және Y нүктелерінде C-ді қиып өтетін доға сызыңыз. Y нүктесінен O-ға дейін дәл солай жасаңыз, C-ді X және Z нүктелерімен қиып алыңыз. OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ сызық сегменттерінің ұзындығы бірдей екенін ескеріңіз, барлық қашықтықтар C шеңберінің радиусына тең.
Centred on any point X on circle C, draw an arc through O (the centre of C) which intersects C at points V and Y. Do the same centred on Y through O, intersecting C at X and Z. Note that the line segments OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ have the same length, all distances being equal to the radius of the circle C.
Енді V нүктесінде ортасы орналасқан, Y арқылы өтетін және Z нүктесінде ортасы орналасқан, X арқылы өтетін доғаны сызыңыз; осы екі доғаның қиылысатын жерін T деп атаңыз. VY және XZ қашықтықтары C шеңберінің радиусына тең еселенгенін ескеріңіз.
Now draw an arc centred on V which goes through Y and an arc centred on Z which goes through X; call where these two arcs intersect T. Note that the distances VY and XZ are times the radius of the circle C.
Компас радиусын OT қашықтығына тең етіп (C шеңберінің радиусына тең еселенген) және Z нүктесінде ортасы орналасқан, C шеңберін U және W нүктелерінде қиылыстыратын доғаны сызыңыз. UVWZ - квадрат, ал C шеңберінің UV, VW, WZ және ZU доғаларының әрқайсысы оның айналасының төрттен бір бөлігіне тең.
Put the compass radius equal to the distance OT ( times the radius of the circle C) and draw an arc centred on Z which intersects the circle C at U and W. UVWZ is a square and the arcs of C UV, VW, WZ, and ZU are each equal to a quarter of the circumference of C.
Берілген шеңбердің ортасын табу
(C) ортасы табылатын шеңбер болсын. A нүктесі (C) шеңберінде жатсын. A орталығындағы (C1) шеңбері (C) шеңберімен B және B' нүктелерінде қиылысады. B және B' орталықтарында, AB радиусымен екі (C2) шеңбері C нүктесінде қайтадан қиылысады. C орталығында, AC радиусымен (C3) шеңбері (C1) шеңберімен D және D' нүктелерінде қиылысады. D және D' орталықтарында, AD радиусымен екі (C4) шеңбері A нүктесінде және (C) шеңберінің ізделіп отырған O ортасында қиылысады. Ескерту: мұның орындалуы үшін (C1) шеңберінің радиусы тым кішкентай да, тым үлкен де болмауы керек. Нақтырақ айтқанда, бұл радиус (C) шеңберінің радиусының жартысынан артық және екі есесінен кем болуы керек: егер радиус (C) шеңберінің диаметрінен үлкен болса, (C1) (C) шеңберімен қиылыспайды; егер радиус (C) шеңберінің радиусының жартысынан қысқа болса, C нүктесі A мен O арасында орналасады және (C3) (C1) шеңберімен қиылыспайды.
Let (C) be the circle, whose centre is to be found. Let A be a point on (C). A circle (C1) centered at A meets (C) at B and B'. Two circles (C2) centered at B and B', with radius AB, cross again at point C.
A circle (C3) centered at C with radius AC meets (C1) at D and D'. Two circles (C4) centered at D and D' with radius AD meet at A, and at O, the sought center of (C). Note: for this to work the radius of circle (C1) must be neither too small nor too large. More precisely, this radius must be between half and double of the radius of (C): if the radius is greater than the diameter of (C), (C1) will not intersect (C); if the radius is shorter than half the radius of (C), point C will be between A and O and (C3) will not intersect (C1).