Задача Наполеона: деление окружности циркулем. Геометрическая конструкция, история вопроса и роль Маскерони. Математические головоломки и интересные факты.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Проблема Наполеона — это задача геометрической конструкции с использованием только циркуля. В ней задан круг и его центр. Задача заключается в разделении круга на четыре равные дуги, используя исключительно циркуль. Наполеон был известен как любитель математики, но неизвестно, сформулировал ли он эту задачу или решил её. Друг Наполеона, итальянский математик Лоренцо Маскерони, ввёл ограничение на использование только циркуля (без линейки) в геометрических построениях. Однако, описанная выше задача на самом деле проще, чем исходная проблема Наполеона, которая состоит в нахождении центра заданного круга, используя только циркуль. В следующих разделах будут представлены решения трёх задач и доказательства их работоспособности. Книга Георга Мора "Euclides Danicus", опубликованная в 1672 году, предвосхитила идею Маскерони, хотя она была заново открыта лишь в 1928 году.
Napoleon's problem is a compass construction problem. In it, a circle and its center are given. The challenge is to divide the circle into four equal arcs using only a compass. Napoleon was known to be an amateur mathematician, but it is not known if he either created or solved the problem. Napoleon's friend the Italian mathematician Lorenzo Mascheroni introduced the limitation of using only a compass (no straight edge) into geometric constructions. But actually, the challenge above is easier than the real Napoleon's problem, consisting in finding the center of a given circle with compass alone. The following sections will describe solutions to three problems and proofs that they work. Georg Mohr's 1672 book "Euclides Danicus" anticipated Mascheroni's idea, though the book was only rediscovered in 1928.
Разделение данного круга на четыре равных дуги с учетом его центра
В центре любой точки X на окружности C нарисуйте дугу через O (центр C), которая пересекает C в точках V и Y. Повторите то же самое, взяв за центр точку Y и проходя через O, пересекая C в точках X и Z. Обратите внимание, что отрезки OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ имеют одинаковую длину, все расстояния равны радиусу окружности C.
Centred on any point X on circle C, draw an arc through O (the centre of C) which intersects C at points V and Y. Do the same centred on Y through O, intersecting C at X and Z. Note that the line segments OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ have the same length, all distances being equal to the radius of the circle C.
Теперь нарисуйте дугу с центром в V, проходящую через Y, и дугу с центром в Z, проходящую через X; обозначьте точку пересечения этих двух дуг буквой T. Обратите внимание, что расстояния VY и XZ равны радиусу окружности C.
Now draw an arc centred on V which goes through Y and an arc centred on Z which goes through X; call where these two arcs intersect T. Note that the distances VY and XZ are times the radius of the circle C.
Установите радиус циркуля равным расстоянию OT (кратному радиусу окружности C) и нарисуйте дугу с центром в Z, которая пересекает окружность C в точках U и W. Четырехугольник UVWZ – квадрат, а дуги UV, VW, WZ и ZU окружности C равны каждой четверти ее длины.
Put the compass radius equal to the distance OT ( times the radius of the circle C) and draw an arc centred on Z which intersects the circle C at U and W. UVWZ is a square and the arcs of C UV, VW, WZ, and ZU are each equal to a quarter of the circumference of C.
Найти центр данного круга
Пусть (C) — окружность, центр которой требуется найти. Пусть A — точка на (C). Окружность (C1) с центром в A пересекает (C) в точках B и B'. Две окружности (C2) с центрами в B и B' и радиусом AB пересекаются снова в точке C.
Let (C) be the circle, whose centre is to be found. Let A be a point on (C). A circle (C1) centered at A meets (C) at B and B'. Two circles (C2) centered at B and B', with radius AB, cross again at point C.
Окружность (C3) с центром в C и радиусом AC пересекает (C1) в точках D и D'. Две окружности (C4) с центрами в D и D' и радиусом AD пересекаются в A и в O — искомом центре (C). Примечание: для работы этого построения радиус окружности (C1) не должен быть слишком мал или слишком велик. Более точно, этот радиус должен быть от половины до двойного радиуса (C): если радиус больше диаметра (C), то (C1) не пересечет (C); если радиус меньше половины радиуса (C), то точка C будет лежать между A и O, и (C3) не пересечет (C1).
A circle (C3) centered at C with radius AC meets (C1) at D and D'. Two circles (C4) centered at D and D' with radius AD meet at A, and at O, the sought center of (C). Note: for this to work the radius of circle (C1) must be neither too small nor too large. More precisely, this radius must be between half and double of the radius of (C): if the radius is greater than the diameter of (C), (C1) will not intersect (C); if the radius is shorter than half the radius of (C), point C will be between A and O and (C3) will not intersect (C1).